1. ВАЖНЕЙШИЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1.1. Теоретическая математика (п. 1.1.1 ПФНИ 2021-2030)
Найдены асимптотические формулы для собственных значений семидиагональных теплицевых матриц специального вида с особым символом, допускающим обращение в ноль шестого порядка. Полученный результат существенно уточняет в рассматриваемом случае классические результаты аналогичного характера. Установленные формулы численно эффективны и могут быть использованы при приближенном вычислении собственных значений теплицевых матриц очень большого размера. Последнее имеет важное значение для построения быстрых алгоритмов и алгоритмов параллельных вычислений (Стукопин В.А.).
Рассмотрены обратные задачи (ОЗ) о восстановлении поля предварительных напряжений (ПН) в трех постановках, различающихся способом задания дополнительной информации: когда задано поле перемещений всюду в области (1-ая постановка), либо на части границы (2-ая постановка), а также когда задан некоторый набор резонансных частот (3-я постановка). При этом производится динамическое зондирование исследуемых тел с помощью приложения поверхностных вибрационных механических нагрузок. В качестве основной модели используется линеаризованная модель ПН упругого тела. Разработаны подходы к исследованию ОЗ 1-го типа, включая проекционный метод как один из наиболее эффективных и универсальных методов в сочетании со слабой постановкой исходной задачи. Предложено два подхода к алгебраизации задачи и сведения ее к исследованию некоторой конечномерной проблемы. Отдельно рассмотрен класс ОЗ об идентификации плоского предварительного напряженного состояния (ПНС) в рамках двумерной постановки, когда требуется определить три компоненты тензора ПН, зависящие от двух переменных и удовлетворяющие уравнениям равновесия. Рассмотрен пример использования проекционного метода в двумерной постановке, приведены иллюстративные примеры реконструкции ПНС простой структуры. Обсуждены возможности восстановления уровня ПНС в первой постановке ОЗ. Предложена итерационно-регуляризационная схема решения ОЗ 2-го типа на основе построенного линеаризованного соотношения взаимности. Это соотношение позволяет реализовать итерационный процесс по определению поправок компонент тензора ПН по отношению к некоторому выбранному начальному состоянию. На каждом шаге решается прямая задача для текущего приближения для ПН и вычисляется соответствующее поле смещений, после чего из интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода находятся поправки к искомым функциям. Такой подход требует знания начального приближения, поиск которого можно осуществлять в каком-нибудь узком классе функций. Отдельно рассмотрен случай восстановления малых компонент ПНС. Изучены частные случаи постановок ОЗ 2-го типа. Обсуждена возможность использования конечноэлементных аппроксимаций и проекционного метода для исследования интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, возникающих при реконструкции плоского ПНС. В качестве иллюстрации приведен пример реконструкции неоднородного ПНС в классе постоянных и линейных функций. Также исследована постановка ОЗ третьего типа. Приведен способ построения частотного соотношения, позволяющего производить идентификацию ПНС по рассчитанным собственным формам колебаний для ненапряженного тела. Рассмотрены некоторые частные постановки ОЗ, обсуждены результаты вычислительных экспериментов. Практическая значимость определяется возможностью применения разработанных моделей и алгоритмов для усовершенствования теоретической базы неразрушающих методов диагностики конструкций в условиях ПНС, при наличии неоднородных свойств или сложной геометрии (Ватульян А.О., Недин Р.Д.).
2. ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
2.1. Теоретическая математика (п. 1.1.1 ПФНИ 2021-2030гг.)
Упорядоченные пространства, мажорируемые операторы и операторные алгебры. Получены ортонормальные характеризации компактных и предельных множеств линейных операторов, действующих из гильбертова пространства в банахово пространство (Горохова С.Г.).
Введено понятие свободной равномерно полной векторной решетки над непустым множеством, доказано существование данного объекта в подходящей категории, а также построено несколько конкретных реализаций свободной равномерно полной векторной решетки (Горохова С.Г., Емельянов Э.Ю.).
Изучена двойственность и полнота в двух новых классах (предельно L-слабо компакных и Данфорда-Петтиса L-слабо компакных) операторов, действующих из банаховых пространств а банаховы решетки (Горохова С., Емельянов Э.Ю., Алпай О.Ш.).
Исследовано понятие мультипликативно порядково компактных операторов. Основным результатов является теорема о порядковой замкнутости множества секвенциально омо-компактных операторов в пространстве порядково ограниченных операторов (Горохова С.Г., Айдын А.).
Установлено, что конус положительных ортогонально аддитивных однородных полиномов, действующих между векторными решетками, совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой степеней решеточных гомоморфизмов. Для класса не ортогонально аддитивных однородных полиномов показан аналогичный результат. В этом случае конус положительных однородных полиномов восстанавливается как замыкание выпуклой оболочки произведения степеней решеточных гомоморфизмов (Кусраева З.А.).
Моном в конечном наборе однородных полиномов является поточечным произведением этих полиномов, каждый из которых возведен в некоторую степень. Установлено, что для заданного конечного набора положительных линейных операторов, действующих из архимедовой векторной решетки в равномерно полную векторную решетку, соответствующий моном ортогонально аддитивный полином тогда и только тогда, когда совокупность этих операторов сохраняет дизъюнктность. Более того, результат остается справедливым, если заменить линейные операторы однородными ортогонально аддитивные полиномы (Кусраева З.А., Тамаева В.А.).
Найден общий критерий диффузности регулярного ортогонально аддитивного оператора, действующего из векторной решетки в порядково полную векторную решетку. Найден критерий регулярности интегрального оператора Урысона, действующего в порядковых идеалах измеримых функций в терминах ядра интегрального оператора (Плиев М.А., Джусоева Н.А., Абасов Н.М.).
Установлено, что каждый регулярный линейный оператор, действующий из векторной решетки с проекциями на главные полосы в порядково непрерывную банахову решетку, однозначно представляется в виде суммы порядково узкого (диффузного) оператора и оператора, принадлежащего полосе, порожденной операторами сохраняющими дизъюнктность (Плиев М.А., Попов М.В.).
Установлено, что идеал в векторной решетке является ядром положительного ортогонально аддитивного оператора. Также показано, что векторная решетка с проекциями на главные полосы в общем случае не является осколочно полной (Плиев М.А., Попов М.В., Михайлчук В.).
Установлено, что каждый латерально-по норме непрерывный, осколочно компактный ортогонально аддитивный оператор, действующий из осколочно полного решеточно-нормированного пространства в банахово пространство является узким. Найден критерий осколочной компактности нелинейного оператора суперпозиции, действующего в пространствах измеримых вектор-функций. Также установлена узость мажорируемых ортогонально аддитивных операторов, принимающих значения в симметрических операторных пространствах (Плиев М.А. Сукочев Ф.А., Джусоева Н.А., Грищенко Е.).
Установлено, что векторное пространство всех регулярных ортогонально аддитивных операторов, действующих из разложимого решеточно-нормированного пространства в порядково полную векторную решетку, является порядково полной векторной решеткой. Установлен критерий положительности нелинейного оператора суперпозиции, действующего из пространства измеримых вектор-функций в порядковый идеал пространства измеримых функций (Плиев М.А., Абасов Н.М., Джусоева Н.А.).
Найдены формулы порядкового проектирования в пространстве регулярных ортогонально аддитивных операторов на полосу, порожденную направленным семейством положительных ортогонально аддитивных операторов (Плиев М.А., Джусоева Н.А., Итарова Ю.).
Найдена характеризация некоммутативных симметрических пространств, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана, обладающих свойством Гельфанда-Филлипса (М.А. Плиев, J. Huang, Y. Nessipbayev, F. Sukochev.).
Дифференциальная геометрия. Проведено детальное исследование геодезически орбитальных римановых метрик на нильпотентных группах Ли. Риманова метрика на заданном многообразии называется геодезически орбитальной, если любая геодезическая этой метрики является орбитой некоторой 1-параметрической группы движения соответствующего риманова многообразия. Основным результатом является построение непрерывных семейств попарно неизоморфных связных и односвязных нильпотентных групп Ли размерности 4k+6, k≥1, каждая из которых допускает 3-параметрическое семейство римановых геодезически орбитальных метрик. Минимальная размерность групп в построенных семействах равна 10 (Никоноров Ю.Г.).
Исследованы голоморфные в полицилиндрической области функции, рациональные по части переменных при произвольно зафиксированных остальных. Доказано, что такие функции можно представить в виде отношения многочленов, коэффициенты которых голоморфны по остальным переменным. При этом применяется метод Кронекера доказательства рациональности голоморфной в окрестности точки 0 функции одной комплексной переменной, использующий свойства ганкелевых матриц (Мелихов С.Н., Иванова О.А.).
Доказана однозначная разрешимость задачи деления на многочлен с разделяющимися переменными при дополнительных условиях на частное в пространстве аналитических функционалов. Получено представление решения, удовлетворяющего нулевым условиям, в виде обобщенного произведения Дюамеля. Результаты для пространства аналитических функционалов применены к уравнению в частных производных в пространстве функций, голоморфных в выпуклой полизвездной относительно точки 0 области, и в пространствах бесконечно дифференцируемых и ультрадифференцируемых функций в выпуклой полицилиндрической области, а также к уравнению с производными Гельфонда-Леонтьева в пространстве всех целых функций многих комплексных переменных (Мелихов С.Н., Иванов П.А.).
Исследовано ядро оператора свертки в пространствах Румье ультрадифференцируемых функций нормального типа на числовой прямой. При условии медленного убывания символа оператора получено изоморфное описание ядра в виде пространства числовых последовательностей. На основании данного результата выписано общее решение однородного уравнения свертки в рассматриваемых пространствах. В случае пространств Румье описание ядра является также необходимым шагом для решения проблемы сюръективности оператора свертки (Полякова Д.А.).
Синтетические методы алгебры, анализа и математической логики. Классическая теорема Стоуна-Вейерштрасса распространена на функции со значениями в решеточно нормированных пространствах и допускающих порядковую апроксимацию вместо традиционной топологической аппроксимации. Доказательства установлены с помощью принципа булевозначного переноса с решеточно нормированных пространств на ормированные пространства (Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С.).
Булевозначный анализ применен к исследованию банаховых пространств. Булевозначной интерпритацией нормированного пространства являются решеточно-нормированные пространства. Представлен булевозначный подход к исследованию инъективных банаховых решеток и к двойственности банаховых пространств (Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С.).
Введено понятие свободной равномерно полной векторной решетки над непустым множеством, доказано существование данного объекта в подходящей категории, а также построено несколько конкретных реализаций свободной равномерно полной векторной решетки (Горохова С.Г., Емельянов Э.Ю.).
Изучена двойственность и полнота в двух новых классах (предельно L-слабо компакных и Данфорда-Петтиса L-слабо компакных) операторов, действующих из банаховых пространств а банаховы решетки (Горохова С., Емельянов Э.Ю., Алпай О.Ш.).
Исследовано понятие мультипликативно порядково компактных операторов. Основным результатов является теорема о порядковой замкнутости множества секвенциально омо-компактных операторов в пространстве порядково ограниченных операторов (Горохова С.Г., Айдын А.).
Установлено, что конус положительных ортогонально аддитивных однородных полиномов, действующих между векторными решетками, совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой степеней решеточных гомоморфизмов. Для класса не ортогонально аддитивных однородных полиномов показан аналогичный результат. В этом случае конус положительных однородных полиномов восстанавливается как замыкание выпуклой оболочки произведения степеней решеточных гомоморфизмов (Кусраева З.А.).
Моном в конечном наборе однородных полиномов является поточечным произведением этих полиномов, каждый из которых возведен в некоторую степень. Установлено, что для заданного конечного набора положительных линейных операторов, действующих из архимедовой векторной решетки в равномерно полную векторную решетку, соответствующий моном ортогонально аддитивный полином тогда и только тогда, когда совокупность этих операторов сохраняет дизъюнктность. Более того, результат остается справедливым, если заменить линейные операторы однородными ортогонально аддитивные полиномы (Кусраева З.А., Тамаева В.А.).
Найден общий критерий диффузности регулярного ортогонально аддитивного оператора, действующего из векторной решетки в порядково полную векторную решетку. Найден критерий регулярности интегрального оператора Урысона, действующего в порядковых идеалах измеримых функций в терминах ядра интегрального оператора (Плиев М.А., Джусоева Н.А., Абасов Н.М.).
Установлено, что каждый регулярный линейный оператор, действующий из векторной решетки с проекциями на главные полосы в порядково непрерывную банахову решетку, однозначно представляется в виде суммы порядково узкого (диффузного) оператора и оператора, принадлежащего полосе, порожденной операторами сохраняющими дизъюнктность (Плиев М.А., Попов М.В.).
Установлено, что идеал в векторной решетке является ядром положительного ортогонально аддитивного оператора. Также показано, что векторная решетка с проекциями на главные полосы в общем случае не является осколочно полной (Плиев М.А., Попов М.В., Михайлчук В.).
Установлено, что каждый латерально-по норме непрерывный, осколочно компактный ортогонально аддитивный оператор, действующий из осколочно полного решеточно-нормированного пространства в банахово пространство является узким. Найден критерий осколочной компактности нелинейного оператора суперпозиции, действующего в пространствах измеримых вектор-функций. Также установлена узость мажорируемых ортогонально аддитивных операторов, принимающих значения в симметрических операторных пространствах (Плиев М.А. Сукочев Ф.А., Джусоева Н.А., Грищенко Е.).
Установлено, что векторное пространство всех регулярных ортогонально аддитивных операторов, действующих из разложимого решеточно-нормированного пространства в порядково полную векторную решетку, является порядково полной векторной решеткой. Установлен критерий положительности нелинейного оператора суперпозиции, действующего из пространства измеримых вектор-функций в порядковый идеал пространства измеримых функций (Плиев М.А., Абасов Н.М., Джусоева Н.А.).
Найдены формулы порядкового проектирования в пространстве регулярных ортогонально аддитивных операторов на полосу, порожденную направленным семейством положительных ортогонально аддитивных операторов (Плиев М.А., Джусоева Н.А., Итарова Ю.).
Найдена характеризация некоммутативных симметрических пространств, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана, обладающих свойством Гельфанда-Филлипса (М.А. Плиев, J. Huang, Y. Nessipbayev, F. Sukochev.).
Дифференциальная геометрия. Проведено детальное исследование геодезически орбитальных римановых метрик на нильпотентных группах Ли. Риманова метрика на заданном многообразии называется геодезически орбитальной, если любая геодезическая этой метрики является орбитой некоторой 1-параметрической группы движения соответствующего риманова многообразия. Основным результатом является построение непрерывных семейств попарно неизоморфных связных и односвязных нильпотентных групп Ли размерности 4k+6, k≥1, каждая из которых допускает 3-параметрическое семейство римановых геодезически орбитальных метрик. Минимальная размерность групп в построенных семействах равна 10 (Никоноров Ю.Г.).
Исследованы m-точечно однородные многогранники в евклидовых пространствах. Невырожденный однородный многогранник в евклидовом пространстве называется m-точечно однородным, если любая m-ка вершин этого многогранника может быть переведена в любую другую m-ку его вершин некоторой изометрией многогранника при условии, что расстояния между соответствующими парами вершин в рассматриваемых двух m-ках равны. Были классифицированы 2-точечно однородные и 3-точечно однородные многогранники в трехмерном евклидовом пространстве. Следует отметить, что любой 3-точечно однородный многогранник в трехмерном евклидовом пространстве является автоматически m-точечно однородным при m ≥ 3. Разработанные в процессе исследования методы будут полезны при исследовании многогранников в многомерных евклидовых пространствах (Никоноров Ю.Г., Берестовский В.Н.).
Комплексный анализ. Установлены новые результаты о сходимости дилатаций в весовых пространствах голоморфных в строго звездных областях функций. Для пространств Бергмана найдены достаточные, а для пространств с равномерными весовыми оценками достаточные и близкие к ним необходимые условия сходимости дилатаций. На их основе выделены классы весов, для которых полиномы плотны в соответствующих пространствах. Для пространств с равномерными весовыми нормами исследована взаимосвязь полученных результатов с задачей о бидвойственности (Абанин А.В.).
Доказана теорема Ю.Ф. Коробейника об аналитических в окрестности нуля решениях уравнения в частных производных второго порядка, одним из коэффициентов которого является независимая переменная. Описана область аналитичности таких решений. Это уравнение используется при исследовании провальных асимптотик квазиклассических приближений к решениям нелинейного уравнения Шредингера (Мелихов С.Н., Сулейманов Б.И., Шавлуков А.М.).Исследованы голоморфные в полицилиндрической области функции, рациональные по части переменных при произвольно зафиксированных остальных. Доказано, что такие функции можно представить в виде отношения многочленов, коэффициенты которых голоморфны по остальным переменным. При этом применяется метод Кронекера доказательства рациональности голоморфной в окрестности точки 0 функции одной комплексной переменной, использующий свойства ганкелевых матриц (Мелихов С.Н., Иванова О.А.).
Доказана однозначная разрешимость задачи деления на многочлен с разделяющимися переменными при дополнительных условиях на частное в пространстве аналитических функционалов. Получено представление решения, удовлетворяющего нулевым условиям, в виде обобщенного произведения Дюамеля. Результаты для пространства аналитических функционалов применены к уравнению в частных производных в пространстве функций, голоморфных в выпуклой полизвездной относительно точки 0 области, и в пространствах бесконечно дифференцируемых и ультрадифференцируемых функций в выпуклой полицилиндрической области, а также к уравнению с производными Гельфонда-Леонтьева в пространстве всех целых функций многих комплексных переменных (Мелихов С.Н., Иванов П.А.).
Исследовано ядро оператора свертки в пространствах Румье ультрадифференцируемых функций нормального типа на числовой прямой. При условии медленного убывания символа оператора получено изоморфное описание ядра в виде пространства числовых последовательностей. На основании данного результата выписано общее решение однородного уравнения свертки в рассматриваемых пространствах. В случае пространств Румье описание ядра является также необходимым шагом для решения проблемы сюръективности оператора свертки (Полякова Д.А.).
Синтетические методы алгебры, анализа и математической логики. Классическая теорема Стоуна-Вейерштрасса распространена на функции со значениями в решеточно нормированных пространствах и допускающих порядковую апроксимацию вместо традиционной топологической аппроксимации. Доказательства установлены с помощью принципа булевозначного переноса с решеточно нормированных пространств на ормированные пространства (Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С.).
Булевозначный анализ применен к исследованию банаховых пространств. Булевозначной интерпритацией нормированного пространства являются решеточно-нормированные пространства. Представлен булевозначный подход к исследованию инъективных банаховых решеток и к двойственности банаховых пространств (Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С.).
Доказано, что всякая элементарная сеть порядка n над полем частных K кольца R с QR-свойством (Gilmer R., Ohm J.) с точностью до сопряженности (диагональной матрицей) является элементарной сетью (дробных) идеалов некоторого промежуточного кольца P, R< P< K. В частности, элементарная сеть является замкнутой (Койбаев В.А.).
Установлено, что аффинные суперянгианы такого вида образуют категорию, морфизмы в которой задаются действием элементов группоида Вейля. Доказано, что все суперянгианы из этой категории изоморфны как ассоциативные супералгебры, но морфизмы, определяемые действием элементов группоида Вейля, не сохраняют копроизведение. В связи с этим дано описание копроизведений на суперянгианах и их отношение с действием группоида Вейля (Стукопин В.А.).
Найден явный алгоритмизируемый способ вычисления матричных элементов оператора Лакса, основанный на технике диаграмм Хассе и вычислении специального базиса в квантовой алгебре. Метод вычисления может быть использован для построения удобного базиса в квантовых алгебрах (Стукопин В.А., Мудров В.А.).
Дифференциальные и интегральные уравнения. Методом годографа на основе закона сохранения построено решение краевой и начальной задач для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка, описывающих поведение поперечных электромагнитных волн (TEM-Waves) в среде с нелинейной поляризацией и намагничиванием. Решения (аналитические и аналитически-численные) получены в неявной двухпараметрической форме и в явной однопараметрической форме. Построены в явном виде инварианты Римана и функция Римана–Грина для промежуточного линейного уравнения в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами (Жуков М.Ю.).
Получены нижние границы для минимального собственного значения дифференциального оператора Штурма-Лиувилля на графе. На этом пути установлен аналог тождества Пиконе для уравнения на сети. В качестве применения такого тождества получены теоремы сравнения Штурма и свойства дифференциальных неравенств для оператора второго порядка на графе (Кулаев Р.Ч.).
Рассмотрена задача устойчивости стационарного вращения системы одинаковых точечных вихревых зарядов, расположенных в вершинах правильного -угольника вне круговой области в случае произвольной циркуляции обтекания границы. Потенциал взаимодействия обратно пропорционален расстоянию между зарядами. Схема исследования устойчивости построена для и реализована для Построены диаграммы устойчивости, на которых указаны области орбитальной устойчивости, неустойчивости и области линейной устойчивости, где требуется нелинейный анализ. Численно исследованы все резонансы до 4-го порядка включительно. Обнаружена неустойчивость на резонансной кривой , отвечающей двукратному нулевому собственному значению матрицы линеаризации при . Теоретические результаты подтверждены численным расчетом траекторий вихревых зарядов (Куракин Л.Г.).
На временном отрезке рассматривается многоточечная краевая задача для абстрактного параболического уравнения с быстро осциллирующей по времени нелинейной частью. Оператор A, где A - старший стационарный линейный оператор уравнения, позитивен. Условия работы формулируются в терминах теории полугрупп и дробных степеней оператора A. Многоточечные краевые условия на временном отрезке помимо линейной комбинации значений решения в конечном наборе точек содержат интегральные слагаемые. Для указанной, задачи построена предельная (усредненная) многоточечная краевая задача и обоснован предельный переход в гельдеровом пространстве вектор-функций на временном отрезке. Полученные результаты применимы к параболическим многоточечным краевым задачам и некоторым другим задачам математической физики (Левенштам В.Б.).
Исследованы общие свойства поля дрейфа Стокса, то есть, поправки к средней эйлеровой скорости, необходимой описания усредненного переноса материальных частиц колеблющимися потоками жидкости. Выяснено, что средняя энергия дрейфа частично локализована на определенном резонансном множестве; более того, средняя спиральность дрейфа оказывается полностью локализованной на том же множестве; спектр и позиции спектральных атомов могут значительно изменить как резонансную, так и нерезонансные энергии дрейфа, обнулить или неограниченно увеличить его спиральность. Продолжено исследование воздействия коротковолнового внешнего сигнала на систему хищник-жертва с таксисом хищника. На этот раз рассмотрен прямой таксис в направлении градиента жертвы и модель Каттанео с высоким сопротивлением изменению потока хищников. Рассмотрен внешний сигнал в виде короткой бегущей волны, и построено полное асимптотическое разложение решения. Установлено, что эффект коротких волн способен расширить области неустойчивости в пространстве параметров системы, но не способен создать их из воздуха, по крайней мере, пока мала его амплитуда (Моргулис А.Б.).
Рассматривался дифференциальный оператор четвертого порядка общего вида на единичном отрезке с абсолютно непрерывным вещественным коэффициентом. Область определения этого оператора задавалась четырьмя граничными условиями, в одном из которых присутствует спектральный параметр. Для указанного оператора установлена асимптотика собственных значений при высоких энергиях. Кроме того, при дополнительном предположении на гладкость коэффициента выписывалась более точная асимптотика собственных значений (Поляков Д.М.)
Рассмотрены двухпараметрические системы химической кинетики – система Шнакенберга и брюсселятор, а также абстрактная система уравнений, которая служит их обобщением. Приведена замена переменных, в которых указанные системы совпадают в линейном приближении в окрестностях положений равновесия. Найдены области неустойчивости Тьюринга для указанных систем на плоскостях параметров систем и в обобщенных переменных. Для любого коэффициента диффузии исследованы области, где выполняются необходимые, а также необходимые и достаточные условия неустойчивости Тьюринга (Ревина С.В.).
Исследована задача Коши вырожденных параболических уравнений высшего порядка, включающие весовые функции экспоненциального роста. Установлено, что если носитель начального решения содержится в шаре фиксированного радиуса, то носитель решения также содержится в шаре конечного зависящего от времени радиуса. Доказано, что с течением времени (при больших значениях) носитель решения расширяется с логарифмической скоростью. Полученная оценка новая и не улучшаемая. Доказательство основано на локальных оценках энергии на кольцах, что позволяет рассматривать даже нестепенной характер весов. Данный подход можно использовать даже в случаях, когда не выполняется весовое неравенство Гальярдо-Ниренберга. Более того, его можно применить для вырождающихся уравнений на многообразиях отрицательной секционной кривизны и для уравнений тонких пленок (Тедеев А.Ф.).
Получены точные оценки радиуса носителя решения задачи Коши для дважды вырождающихся параболических уравнений высокого порядка, содержащие экспоненциальные веса. Получены точные оценки размера носителя. Для квазилинейных параболических уравнений с демпфированием и с нестепенным характером вырождения получены точные (при неограниченном возрастании по времени) оценки решения, и найден критерий стремления к нулю тотальной массы решения (Тедеев А.Ф.)
Изучена двумерная обратная задача определения ядра уравнения термоупругости c памятью. Методика исследования использует принцип линеаризации и преобразование Фурье, доказаны теорема об однозначной разрешимости, теорема о сходимости решений регуляризованного семейства задач к решению некорректной задачи и получена оценка устойчивости решения обратной задачи (Тотиева Ж.Д.).
Представлена новая постановка обратной задачи для волнового оператора с памятью, использующая акустические граничные условия. Целью является одновременное определение потенциала скорости и ядра памяти интегрального оператора, описывающего последействие среды. Разработана методика исследования обратной задачи, с помощью которой доказаны теоремы существования и единственности «в малом» в пространствах Соболева (Тотиева Ж.Д.).
Получены нижние границы для минимального собственного значения дифференциального оператора Штурма-Лиувилля на графе. На этом пути установлен аналог тождества Пиконе для уравнения на сети. В качестве применения такого тождества получены теоремы сравнения Штурма и свойства дифференциальных неравенств для оператора второго порядка на графе (Кулаев Р.Ч.).
Рассмотрена задача устойчивости стационарного вращения системы одинаковых точечных вихревых зарядов, расположенных в вершинах правильного -угольника вне круговой области в случае произвольной циркуляции обтекания границы. Потенциал взаимодействия обратно пропорционален расстоянию между зарядами. Схема исследования устойчивости построена для и реализована для Построены диаграммы устойчивости, на которых указаны области орбитальной устойчивости, неустойчивости и области линейной устойчивости, где требуется нелинейный анализ. Численно исследованы все резонансы до 4-го порядка включительно. Обнаружена неустойчивость на резонансной кривой , отвечающей двукратному нулевому собственному значению матрицы линеаризации при . Теоретические результаты подтверждены численным расчетом траекторий вихревых зарядов (Куракин Л.Г.).
На временном отрезке рассматривается многоточечная краевая задача для абстрактного параболического уравнения с быстро осциллирующей по времени нелинейной частью. Оператор A, где A - старший стационарный линейный оператор уравнения, позитивен. Условия работы формулируются в терминах теории полугрупп и дробных степеней оператора A. Многоточечные краевые условия на временном отрезке помимо линейной комбинации значений решения в конечном наборе точек содержат интегральные слагаемые. Для указанной, задачи построена предельная (усредненная) многоточечная краевая задача и обоснован предельный переход в гельдеровом пространстве вектор-функций на временном отрезке. Полученные результаты применимы к параболическим многоточечным краевым задачам и некоторым другим задачам математической физики (Левенштам В.Б.).
Исследованы общие свойства поля дрейфа Стокса, то есть, поправки к средней эйлеровой скорости, необходимой описания усредненного переноса материальных частиц колеблющимися потоками жидкости. Выяснено, что средняя энергия дрейфа частично локализована на определенном резонансном множестве; более того, средняя спиральность дрейфа оказывается полностью локализованной на том же множестве; спектр и позиции спектральных атомов могут значительно изменить как резонансную, так и нерезонансные энергии дрейфа, обнулить или неограниченно увеличить его спиральность. Продолжено исследование воздействия коротковолнового внешнего сигнала на систему хищник-жертва с таксисом хищника. На этот раз рассмотрен прямой таксис в направлении градиента жертвы и модель Каттанео с высоким сопротивлением изменению потока хищников. Рассмотрен внешний сигнал в виде короткой бегущей волны, и построено полное асимптотическое разложение решения. Установлено, что эффект коротких волн способен расширить области неустойчивости в пространстве параметров системы, но не способен создать их из воздуха, по крайней мере, пока мала его амплитуда (Моргулис А.Б.).
Рассматривался дифференциальный оператор четвертого порядка общего вида на единичном отрезке с абсолютно непрерывным вещественным коэффициентом. Область определения этого оператора задавалась четырьмя граничными условиями, в одном из которых присутствует спектральный параметр. Для указанного оператора установлена асимптотика собственных значений при высоких энергиях. Кроме того, при дополнительном предположении на гладкость коэффициента выписывалась более точная асимптотика собственных значений (Поляков Д.М.)
Рассмотрены двухпараметрические системы химической кинетики – система Шнакенберга и брюсселятор, а также абстрактная система уравнений, которая служит их обобщением. Приведена замена переменных, в которых указанные системы совпадают в линейном приближении в окрестностях положений равновесия. Найдены области неустойчивости Тьюринга для указанных систем на плоскостях параметров систем и в обобщенных переменных. Для любого коэффициента диффузии исследованы области, где выполняются необходимые, а также необходимые и достаточные условия неустойчивости Тьюринга (Ревина С.В.).
Исследована задача Коши вырожденных параболических уравнений высшего порядка, включающие весовые функции экспоненциального роста. Установлено, что если носитель начального решения содержится в шаре фиксированного радиуса, то носитель решения также содержится в шаре конечного зависящего от времени радиуса. Доказано, что с течением времени (при больших значениях) носитель решения расширяется с логарифмической скоростью. Полученная оценка новая и не улучшаемая. Доказательство основано на локальных оценках энергии на кольцах, что позволяет рассматривать даже нестепенной характер весов. Данный подход можно использовать даже в случаях, когда не выполняется весовое неравенство Гальярдо-Ниренберга. Более того, его можно применить для вырождающихся уравнений на многообразиях отрицательной секционной кривизны и для уравнений тонких пленок (Тедеев А.Ф.).
Получены точные оценки радиуса носителя решения задачи Коши для дважды вырождающихся параболических уравнений высокого порядка, содержащие экспоненциальные веса. Получены точные оценки размера носителя. Для квазилинейных параболических уравнений с демпфированием и с нестепенным характером вырождения получены точные (при неограниченном возрастании по времени) оценки решения, и найден критерий стремления к нулю тотальной массы решения (Тедеев А.Ф.)
Изучена двумерная обратная задача определения ядра уравнения термоупругости c памятью. Методика исследования использует принцип линеаризации и преобразование Фурье, доказаны теорема об однозначной разрешимости, теорема о сходимости решений регуляризованного семейства задач к решению некорректной задачи и получена оценка устойчивости решения обратной задачи (Тотиева Ж.Д.).
Представлена новая постановка обратной задачи для волнового оператора с памятью, использующая акустические граничные условия. Целью является одновременное определение потенциала скорости и ядра памяти интегрального оператора, описывающего последействие среды. Разработана методика исследования обратной задачи, с помощью которой доказаны теоремы существования и единственности «в малом» в пространствах Соболева (Тотиева Ж.Д.).
Выпуклый анализ, теория оптимизации и теория приближений. Понятие управляемости управляемой системы является одним из важнейших в теории оптимального управления. Вводится более широкое, чем обычно, понятие управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями общего вида, а именно, управляемость определяется относительно функции, которая, вообще говоря, не является для данной системы допустимой траекторией. Полученный результат – это условия, гарантирующие управляемость относительно такой функции не только первоначально заданной управляемой системы, но и близких к ней управляемых систем. Близость понимается в пространствах непрерывных отображений с равномерной метрикой. Помимо теоретического интереса, такой результат важен для приложений. Дело в том, что отображения, входящие в определение исходной управляемой системы, обладают определенной гладкостью, а для управляемости близких отображений достаточно только непрерывности соответствующих отображений. На практике близкие отображения возникают как следствие неточности задания исходных данных и/или как аппроксимация “сложных” отображений более простыми, которые, как правило, лишь непрерывны (Магарил-Ильяев Г.Г., Аваков Е.Р.)
Принцип максимума Понтрягина – центральный результат теории оптимального управления. Его доказательству посвящено значительное число работ. Но основных идей, на которых эти доказательства базируются, не так много. Отметим, что исторически первым было доказательство, основанное на так называемых игольчатых вариациях оптимального управления. Эта идея восходит к Ж. Лагранжу, предложившего Л. Эйлеру доказывать необходимые условия экстремума в задачах вариационного исчисления путем варьирования экстремальной функции. Отметим еще плодотворную идею, заключающуюся я в том, что исходная задача “погружается” в более широкий класс задач и рассматривается уже не как отдельный объект, а как член сообщества себе подобных. Предложено достаточно короткое и весьма прозрачное доказательство принципа максимума Понтрягина для общей задачи оптимального управления. Основным инструментом является абстрактная лемма об обратной функции, доказательство которой существенно опирается на теорему Шаудера о неподвижной точке (Магарил-Ильяев Г.Г., Аваков Е.Р.)
Для однопараметрического семейства линейных операторов рассматривается задача оптимального восстановления оператора на однородном соболевском пространстве при данном значении параметра по неточной информации об операторе при другом значении параметра. Построено семейство оптимальных методов восстановления, параметризованное некоторым семейством измеримых существенно ограниченных функций. В качестве следствия получены оптимальные методы восстановления решений некоторых уравнений математической физики. Эти методы могут служить основой для построения эффективных численных алгоритмов решений указанных уравнений с неточно заданными исходными данными (Сивкова Е.О.).
Разностный оператор Лапласа применяется в задачах математической физики, обработке изображений, машинном обучении и др. Вводится понятие дробной степени разностного оператора Лапласа функции на d-мерной решетке и ставится задача об оптимальном восстановлении этой дробной степени по приближенной информации о самой функции, принадлежащей некоторому классу. Получены явные выражения для семейства оптимальных методов восстановления, зависящих от шага дискретизации и величины погрешности задания исходной функции. В качестве следствия доказаны точные неравенства, связывающие исходную функцию с дробными степенями ее оператора Лапласа (Сивкова Е.О.).
Получены необходимые и достаточные условия на показатель α, при которых имеет место равномерная на [-1,1] сходимость рядов Фурье по соболевской системе полиномов, ассоциированной с ультрасферическими полиномами Якоби с показателем α, к функциям из пространства Соболева (Магомед-Касумов М.Г.).
Рассмотрены свойства систем функций Ф1, ортогональных относительно весового дискретно-непрерывного скалярного произведения типа Соболева с двумя дискретными точками. Исследован вопрос о замкнутости систем Ф1 в пространстве Соболева и о связи этих систем с системами, ортогональными в весовых пространствах Лебега. Изучены свойства рядов Фурье по системам Ф1. В частности, получены условия равномерной сходимости рядов Фурье по системам Ф1 к функциям из пространства Соболева (Магомед-Касумов М.Г.).
Предложен и обоснован метод нахождения решения, ограниченного на одном конце и неограниченного на другом конце интервала интегрирования [-1, 1], гиперсингулярного интегрального уравнений первого рода с использованием рядов Чебышева. Ядро и правая часть уравнения представлены в виде рядов Чебышева, коэффициенты разложения которых вычисляются приближенно. Коэффициенты разложения неизвестной функции уравнения находятся с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений. Для обоснования вычислительной схемы используются методы функционального анализа и теории ортогональных многочленов. Оценивается погрешность вычисления и даётся порядок её стремления к нулю (Хубежты Ш.С.).
Проведён подробный аналитический обзор работ, посвящённых применению методов машинного обучения для диагностики заболеваний рыб. Рассмотрены исследования по диагностике заболеваний на основании клинических признаков, проведён анализ используемых архитектур свёрточных нейронных сетей. Представлен обзор алгоритмов машинного обучения для создания экспертных систем, предназначенных для постановки диагноза на основе некоторого набора значимых характеристик. Изучены работы, посвящённые автоматизации различения видов паразитов рыб с использованием методов машинного обучения, особое внимание уделено методам для различения видов моногеней по характеристикам прикрепительного диска (Казарников А.В.).
При помощи численной модели атмосферы в горных ущельях составлен прогноз по содержанию пыли, рассеиваемой от модельного источника, который расположен в центре ущелья идеализированного поперечного ущелья, ориентированного с севера на юг своей самой длинной осью. Изучались распределения загрязняющих веществ, приземные розы ветров и пульсации струйных течений для модельных ущелий разной ширины: от 1000 до 4000 м, при высоте в 1000 м и длине 40 км. Показано, что роза ветров в модельном широком ущелье (4000 м) качественно близка наблюдаемой розе ветров в Алагирском ущелье вблизи Унальского хвостохранилища. Анализируется влияние ширины на перенос загрязняющих веществ. В частности, перенос пыли и химических веществ на склонах горных ущелий определяются не столько расстоянием от хвостохранилища, сколько топографией и преобладающей в этой области розой ветров (Каменецкий Е.С., Радионов А.А.)
Поставлена и решена задача о механизме осцилляции плотности, который может принимать участие в формировании ночных струйных течений, возникающих в ночной атмосфере над равнинными участками поверхности. Механизм имеет резонансную природу, что видно из представленных аналитических и численных решений управляющих уравнений (Радионов А.А.).
Получено, что в странах, население которых разделено на две крупные группы, отличающиеся по этноконфессиональному составу и положению в обществе, возможна ситуация, когда напряженность в стране в целом определяется одной группой, а крупные протестные акции организуются другой группой. В этом случае, для прогнозирования крупных протестных акций необходимо отдельно анализировать состояние каждой из таких социальных групп (Каменецкий Е.С.).
Сформулирована общая операторная постановка задачи для поперечно-неоднородного ортотропного цилиндрического волновода с произвольной формой поперечного сечения. Построены квадратичные разложения для дисперсионных ветвей в окрестности точек запирания для изотропного и ортотропного неоднородного в поперечном направлении волновода. Проведена серия вычислительных экспериментов для волновода с поперечным сечением треугольной формы. При помощи интегрального преобразования Фурье и МКЭ пакета FreeFem++ решена задача о вынужденных колебаниях волновода с кольцевым поперечным сечением. Выполнено сравнение с решением, полученным на основе метода пристрелки и теории вычетов в осесимметричном случае (Ватульян А.О., Юров В.О.).
Исследованы динамические и нестационарные задачи градиентной механики. В качестве первой задачи исследована задача нахождения спектра собственных значений и собственных форм продольных колебаний однородного упругого стержня с учетом масштабных эффектов на основе модели Айфантиса. Получены как точные значения спектра собственных значений в градиентной постановке, так и асимптотика спектра на основе метода Вишика-Люстерника. Определены границы применимости асимптотического подхода. В качестве второй задачи рассмотрена задача градиентной термоупругости для составного стержня в квазистатической постановке с учетом механического и теплового масштабных параметров. Задача сведена к последовательному решению задач теплопроводности и теории упругости с фиктивными силами в трансформантах Лапласа и обращении трансформант на основе метода Дурбина. Исследовано влияние масштабных параметров на зависимость напряженно-деформированного состояния от времени и краевые эффекты в окрестности сопряжения (Ватульян А.О., Нестеров С.А.).
Исследована обратная задача по идентификации переменных теплофизических характеристик прямоугольника и конечного цилиндра, являющихся функцией двух координат при измерении температуры на части внешней границы на некотором временном отрезке. Прямая задача формулируется в слабой постановке и решается в конечно-элементном пакете FreeFem++. Исследовано влияние коэффициента теплопроводности на температуру внешней границы. Для решения обратной задачи построена проекционно-итерационная схема. Коэффициент теплопроводности представлен в виде суммы начального приближения и функции-поправки, заданной в виде разложения по системе полиномов. На каждом этапе итерационного процесса вычисляются коэффициенты разложения из решения системы алгебраических уравнений, полученной при алгебраизации операторного уравнения 1-го рода. Представлены результаты вычислительных экспериментов по восстановлению различных двумерных законов (Ватульян А.О., Нестеров С.А.).
Разработаны подходы к исследованию коэффициентных обратных задач (ОЗ) об идентификации неоднородных предварительных напряжений (ПН) в трех постановках, различающихся способом задания дополнительной информации: когда задано поле перемещений всюду в области, либо на части границы, а также когда задан некоторый набор резонансных частот. В качестве основной модели используется линеаризованная модель ПН упругого тела. Построены общие операторные соотношения ОЗ на основе энергетических принципов, вариационных и слабых постановок; на их основе построены проекционные и итерационно-регуляризационные методы решения ОЗ в рассмотренных постановках. Рассмотрен детально класс двумерных ОЗ для плоских областей, построены системы интегральных и интегро-дифференциальных уравнений относительно компонент тензора ПН, проведены вычислительные эксперименты по реконструкции ПН для различных наборов входных данных (Ватульян А.О., Недин Р.Д.).
Исследованы прямая и обратная геометрическая задачи для функционально-градиентной упругой полосы с расслоениями на нижней границе. Получено решение прямой задачи путем сведения исходной краевой задачи к граничному интегральному уравнению относительно функции раскрытия трещины. Построено волновое поле в полосе на основе метода граничных элементов и асимптотического подхода для дефектов малого относительного размера. Решена обратная геометрическая задача об определении геометрических параметров расслоения по данным, измеренным в точках верхней границы полосы в результате ультразвукового зондирования на основе полученных асимптотических формул. Проведены численные расчеты решения прямой и обратной задач (Ватульян А.О., Явруян О.В.).
Исследована идентификация параметров определяющего соотношения сжимаемой нелинейно-упругой среды, основанная на одноосном растяжении, изгибе и кручении. Для описания механических свойств материала использована пятиконстантная модель Мурнагана. Эксперименты моделируются с использованием полуобратного метода нелинейной теории упругости. Решение обратной задачи идентификации для модулей Мурнагана второго порядка основано на нелинейных зависимостях, полученных на предыдущем этапе. С использованием метода разложения Синьорини получены аналитические выражения констант Мурнагана как решение системы соотношений второго порядка. Задача идентификации сводится к нахождению минимума целевой функции отклонения расчетных теоретических данных от «экспериментальных» значений на основе применения биоинспирированных алгоритмов и нейросетевых технологий (Карякин М.И.).
Принцип максимума Понтрягина – центральный результат теории оптимального управления. Его доказательству посвящено значительное число работ. Но основных идей, на которых эти доказательства базируются, не так много. Отметим, что исторически первым было доказательство, основанное на так называемых игольчатых вариациях оптимального управления. Эта идея восходит к Ж. Лагранжу, предложившего Л. Эйлеру доказывать необходимые условия экстремума в задачах вариационного исчисления путем варьирования экстремальной функции. Отметим еще плодотворную идею, заключающуюся я в том, что исходная задача “погружается” в более широкий класс задач и рассматривается уже не как отдельный объект, а как член сообщества себе подобных. Предложено достаточно короткое и весьма прозрачное доказательство принципа максимума Понтрягина для общей задачи оптимального управления. Основным инструментом является абстрактная лемма об обратной функции, доказательство которой существенно опирается на теорему Шаудера о неподвижной точке (Магарил-Ильяев Г.Г., Аваков Е.Р.)
Для однопараметрического семейства линейных операторов рассматривается задача оптимального восстановления оператора на однородном соболевском пространстве при данном значении параметра по неточной информации об операторе при другом значении параметра. Построено семейство оптимальных методов восстановления, параметризованное некоторым семейством измеримых существенно ограниченных функций. В качестве следствия получены оптимальные методы восстановления решений некоторых уравнений математической физики. Эти методы могут служить основой для построения эффективных численных алгоритмов решений указанных уравнений с неточно заданными исходными данными (Сивкова Е.О.).
Разностный оператор Лапласа применяется в задачах математической физики, обработке изображений, машинном обучении и др. Вводится понятие дробной степени разностного оператора Лапласа функции на d-мерной решетке и ставится задача об оптимальном восстановлении этой дробной степени по приближенной информации о самой функции, принадлежащей некоторому классу. Получены явные выражения для семейства оптимальных методов восстановления, зависящих от шага дискретизации и величины погрешности задания исходной функции. В качестве следствия доказаны точные неравенства, связывающие исходную функцию с дробными степенями ее оператора Лапласа (Сивкова Е.О.).
Получены необходимые и достаточные условия на показатель α, при которых имеет место равномерная на [-1,1] сходимость рядов Фурье по соболевской системе полиномов, ассоциированной с ультрасферическими полиномами Якоби с показателем α, к функциям из пространства Соболева (Магомед-Касумов М.Г.).
Рассмотрены свойства систем функций Ф1, ортогональных относительно весового дискретно-непрерывного скалярного произведения типа Соболева с двумя дискретными точками. Исследован вопрос о замкнутости систем Ф1 в пространстве Соболева и о связи этих систем с системами, ортогональными в весовых пространствах Лебега. Изучены свойства рядов Фурье по системам Ф1. В частности, получены условия равномерной сходимости рядов Фурье по системам Ф1 к функциям из пространства Соболева (Магомед-Касумов М.Г.).
Предложен и обоснован метод нахождения решения, ограниченного на одном конце и неограниченного на другом конце интервала интегрирования [-1, 1], гиперсингулярного интегрального уравнений первого рода с использованием рядов Чебышева. Ядро и правая часть уравнения представлены в виде рядов Чебышева, коэффициенты разложения которых вычисляются приближенно. Коэффициенты разложения неизвестной функции уравнения находятся с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений. Для обоснования вычислительной схемы используются методы функционального анализа и теории ортогональных многочленов. Оценивается погрешность вычисления и даётся порядок её стремления к нулю (Хубежты Ш.С.).
2.2. Математическое моделирование (п. 1.1.3 ПФНИ 2021-2030гг.)
Проведён подробный аналитический обзор работ, посвящённых применению методов машинного обучения для диагностики заболеваний рыб. Рассмотрены исследования по диагностике заболеваний на основании клинических признаков, проведён анализ используемых архитектур свёрточных нейронных сетей. Представлен обзор алгоритмов машинного обучения для создания экспертных систем, предназначенных для постановки диагноза на основе некоторого набора значимых характеристик. Изучены работы, посвящённые автоматизации различения видов паразитов рыб с использованием методов машинного обучения, особое внимание уделено методам для различения видов моногеней по характеристикам прикрепительного диска (Казарников А.В.).
При помощи численной модели атмосферы в горных ущельях составлен прогноз по содержанию пыли, рассеиваемой от модельного источника, который расположен в центре ущелья идеализированного поперечного ущелья, ориентированного с севера на юг своей самой длинной осью. Изучались распределения загрязняющих веществ, приземные розы ветров и пульсации струйных течений для модельных ущелий разной ширины: от 1000 до 4000 м, при высоте в 1000 м и длине 40 км. Показано, что роза ветров в модельном широком ущелье (4000 м) качественно близка наблюдаемой розе ветров в Алагирском ущелье вблизи Унальского хвостохранилища. Анализируется влияние ширины на перенос загрязняющих веществ. В частности, перенос пыли и химических веществ на склонах горных ущелий определяются не столько расстоянием от хвостохранилища, сколько топографией и преобладающей в этой области розой ветров (Каменецкий Е.С., Радионов А.А.)
Поставлена и решена задача о механизме осцилляции плотности, который может принимать участие в формировании ночных струйных течений, возникающих в ночной атмосфере над равнинными участками поверхности. Механизм имеет резонансную природу, что видно из представленных аналитических и численных решений управляющих уравнений (Радионов А.А.).
Получено, что в странах, население которых разделено на две крупные группы, отличающиеся по этноконфессиональному составу и положению в обществе, возможна ситуация, когда напряженность в стране в целом определяется одной группой, а крупные протестные акции организуются другой группой. В этом случае, для прогнозирования крупных протестных акций необходимо отдельно анализировать состояние каждой из таких социальных групп (Каменецкий Е.С.).
2.3. Механика (п. 2.3.1 ПФНИ 2021-2030гг.)
Исследованы динамические и нестационарные задачи градиентной механики. В качестве первой задачи исследована задача нахождения спектра собственных значений и собственных форм продольных колебаний однородного упругого стержня с учетом масштабных эффектов на основе модели Айфантиса. Получены как точные значения спектра собственных значений в градиентной постановке, так и асимптотика спектра на основе метода Вишика-Люстерника. Определены границы применимости асимптотического подхода. В качестве второй задачи рассмотрена задача градиентной термоупругости для составного стержня в квазистатической постановке с учетом механического и теплового масштабных параметров. Задача сведена к последовательному решению задач теплопроводности и теории упругости с фиктивными силами в трансформантах Лапласа и обращении трансформант на основе метода Дурбина. Исследовано влияние масштабных параметров на зависимость напряженно-деформированного состояния от времени и краевые эффекты в окрестности сопряжения (Ватульян А.О., Нестеров С.А.).
Исследована обратная задача по идентификации переменных теплофизических характеристик прямоугольника и конечного цилиндра, являющихся функцией двух координат при измерении температуры на части внешней границы на некотором временном отрезке. Прямая задача формулируется в слабой постановке и решается в конечно-элементном пакете FreeFem++. Исследовано влияние коэффициента теплопроводности на температуру внешней границы. Для решения обратной задачи построена проекционно-итерационная схема. Коэффициент теплопроводности представлен в виде суммы начального приближения и функции-поправки, заданной в виде разложения по системе полиномов. На каждом этапе итерационного процесса вычисляются коэффициенты разложения из решения системы алгебраических уравнений, полученной при алгебраизации операторного уравнения 1-го рода. Представлены результаты вычислительных экспериментов по восстановлению различных двумерных законов (Ватульян А.О., Нестеров С.А.).
Разработаны подходы к исследованию коэффициентных обратных задач (ОЗ) об идентификации неоднородных предварительных напряжений (ПН) в трех постановках, различающихся способом задания дополнительной информации: когда задано поле перемещений всюду в области, либо на части границы, а также когда задан некоторый набор резонансных частот. В качестве основной модели используется линеаризованная модель ПН упругого тела. Построены общие операторные соотношения ОЗ на основе энергетических принципов, вариационных и слабых постановок; на их основе построены проекционные и итерационно-регуляризационные методы решения ОЗ в рассмотренных постановках. Рассмотрен детально класс двумерных ОЗ для плоских областей, построены системы интегральных и интегро-дифференциальных уравнений относительно компонент тензора ПН, проведены вычислительные эксперименты по реконструкции ПН для различных наборов входных данных (Ватульян А.О., Недин Р.Д.).
Исследованы прямая и обратная геометрическая задачи для функционально-градиентной упругой полосы с расслоениями на нижней границе. Получено решение прямой задачи путем сведения исходной краевой задачи к граничному интегральному уравнению относительно функции раскрытия трещины. Построено волновое поле в полосе на основе метода граничных элементов и асимптотического подхода для дефектов малого относительного размера. Решена обратная геометрическая задача об определении геометрических параметров расслоения по данным, измеренным в точках верхней границы полосы в результате ультразвукового зондирования на основе полученных асимптотических формул. Проведены численные расчеты решения прямой и обратной задач (Ватульян А.О., Явруян О.В.).
Исследована идентификация параметров определяющего соотношения сжимаемой нелинейно-упругой среды, основанная на одноосном растяжении, изгибе и кручении. Для описания механических свойств материала использована пятиконстантная модель Мурнагана. Эксперименты моделируются с использованием полуобратного метода нелинейной теории упругости. Решение обратной задачи идентификации для модулей Мурнагана второго порядка основано на нелинейных зависимостях, полученных на предыдущем этапе. С использованием метода разложения Синьорини получены аналитические выражения констант Мурнагана как решение системы соотношений второго порядка. Задача идентификации сводится к нахождению минимума целевой функции отклонения расчетных теоретических данных от «экспериментальных» значений на основе применения биоинспирированных алгоритмов и нейросетевых технологий (Карякин М.И.).
2.4. Информационно-вычислительные системы и среды в науке и образовании (п. 1.1.8 ПФНИ 2021-2030гг.)
Выявлены содержательные и технологические этапы развертывания фунди¬рующих процедур освоения сложных систем и знаний, проявляющиеся в ходе исследо¬вательской деятельности школьников и студентов в условиях цифровой трансформации математического образования; определены критерии отбора сложных систем и знаний для организации эффективной поисковой и исследовательской деятельности школь¬ников и критерии проявления синергии «проблемных зон» сложного знания на фоне диагностического определения личностных предпочтений и возможностей обучающих¬ся. Выявлены личностно-адаптационные и содержательно-технологические эта¬пы развития исследовательской методической компетенции учителя математики, прояв¬ляющиеся в ходе исследовательской методической деятельности на основе реализации алгоритмов метода научного познания в актуализации современных образовательных технологий обучения сложным математическим системам и знаниям. Введена в научный аппарат дидактики категория научного стиля мышления школьников, выявлены характеристики, формы, средства, методы, факторы форми¬рования научного стиля мышления школьников в ходе обучения математике сложно¬го знания при реализации алгоритма научного метода в решении учебно и научно¬исследовательских задач (Абатурова В.С., Дятлов В.Н., Малова И.Е., Смирнов Е.И.).