1. ВАЖНЕЙШИЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 

1.1. Теоретическая математика (п. 1.1.1 ПФНИ 2021-2030)

В окрестности косимметричного равновесия построена локальная классификация дифференциальных уравнений с обратимой косимметрией и векторным параметром в предположении, что ядро матрицы линеаризации на косимметричном равновесии двумерно, а весь ее спектр устойчивости, за исключением двукратного нуля, устойчив. Уравнения с такими свойствами имеют коразмерность 1 среди четномерных систем с косимметричным равновесием. Во всех рассмотренных случаях такая система обладает спрямляемым семейством некосимметричных равновесий вблизи косимметричного. Классификация проведена по следующим свойствам: тип косимметричного равновесия; взаимное расположение косимметричного равновесия и семейства; число граничных равновесий этого семейства, разделяющих его области устойчивости и неустойчивости; число пересечений каждой из сепаратрис косимметричного седлового равновесия с семейством. Полученные результаты могут получить применение, например, в моделях математической физики и биологии, обладающих обратимой косимметрией (Куракин Л.Г., Курдоглян А.В.). 

2. ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 

2.1. Теоретическая математика (п. 1.1.1 ПФНИ 2021-2030гг.) 

Упорядоченные пространства, мажорируемые операторы и операторные алгебры.  Доказана теорема, являющаяся дизъюнктным аналогом классических теорем доминирования для (слабо) компактных операторов. Найдены условия для совместной порядковой ограниченности и для равномерной ограниченности семейств операторов (Горохова С.Г., Емельянов, Э.Ю., Эркуршун-Озджан Н.). 

Найдены условия, при которых положительные почти L(M)-слабо компактные операторы являются L (соответственно, M) слабо компактными. Найдены условия, при которых операторы из класса w∗-Данфорда–Петтиса обладают свойствами (слабой) компактности и предельности (Горохова С.Г., Алпай О.Ш.). 

Получены необходимые и достаточные условия, при которых имеет место классическая лемма Фаркаша для линейных операторов со значениями в пространствах Канторовича. Аналогичный результат получен в классах ортосимметричных полилинейных операторов и ортогонально аддитивных однородных полиномов (Кусраев А.Г.).

Представлен детальный обзор недавних результатов о структуре порядково ограниченных сохраняющих дизъюнктность линейных и полилинейных операторов, а также однородных полиномов из указанного класса. Основное внимание уделяется операторам, разложимым в сумму операторов, сохраняющих дизъюнктность, и однородных многочленов, представимых в виде суммы операторных мономов – произведений степеней линейных операторов, сохраняющих дизъюнктность (Кусраева З.А.).

Для положительного ортогонально аддитивного оператора, заданного на разложимом решеточно-нормированном пространстве и принимающего значение в порядково полной векторной решетке найдено описание порядковой структуры крайних точек выпуклого множества положительных ортогонально аддитивных операторов, мажорируемых заданным положительным оператором. Найдено решение проблемы мажорации для узких положительных ортогонально аддитивных операторов, действующих из разложимого решеточно-нормированного пространства в   банахову решетку с порядково непрерывной нормой (Плиев М.А., Кудайбергенов К.К., Сукочев Ф.А.). 

Найден гомотопический тип полной линейной группы пространств Лебега-Бохнера и Бесова (Плиев М.А. Сукочев Ф.А., Томскова А.). 

Получен критерий частично интегральной представимости положительных L^∞-однородных операторов, действующих в идеальных пространствах измеримых действительных функций, определенных на произведении измеримых пространств с σ-конечными мерами (Тасоев Б.Б., Орынбаев П.Р.).

Дифференциальная геометрия. Исследованы геодезические левоинвариантных субримановых метрик на прямом декартовом квадрате связной двумерной некоммутативной группы Ли, где метрика определяется скалярным произведением на двумерном порождающем подпространстве соответствующей алгебры Ли. Доказано, что система уравнений для геодезических таких субримановых метрик не является вполне интегрируемой в классе мероморфных функций. Найдены важные качественные характеристики соответствующих геодезических, доказывающие сложность их поведения в целом (Никоноров Ю.Г., Зубарева И.А.).   

Исследовано свойство геодезической орбитальности для ряда псевдоримановых нильмногообразий, в частности, для известных в литературе как псевдогруппы Ли H-типа, т.е. двуступенно нильпотентных групп Ли гейзенберговского типа, снабжённых левоинвариантной псевдоримановой метрикой. Классификация геодезически орбитальных римановых групп Ли H-типа было завершена К. Римом в 1984 году. Эти результаты удалось распространить на псевдоримановы группы Ли H-типа. В частности, классифицированы геодезически орбитальные псевдогруппы Ли H-типа для случая, когда базовые алгебры Ли построены из допустимых модулей Клиффорда минимальной размерности (Никоноров Ю.Г., Furutani K.). 

Комплексный анализ. Введено новое понятие абсолютно представляющих систем в линейных топологических пространствах с топологиями, задаваемыми наборами квазипреднорм, которое обобщает определение Ю.Ф. Коробейника. На его основе введены и изучены свойства коэффициентных пространств и доказано, что в каждом сепарабельном пространстве с топологией, задаваемой счетным набором квазипреднорм, существует абсолютно представляющая система элементов. Полученные результаты составляют основу для дальнейших исследований абсолютно представляющих систем в двух направлениях: 1) характеризация их с помощью нетривиальных разложений нуля и интерполяционных задач; 2) построение и использование двойственной теории достаточных множеств (Абанин А.В.). 

Изучено произведение Дюамеля в пространстве функций, голоморфных в ограниченной звездной относительно точки 0 области комплексной плоскости и полиномиального роста вблизи ее границы. Показано, что это пространство с произведением Дюамеля является унитальной ассоциативной и коммутативной топологической алгеброй. Доказан критерий обратимости элемента в этой алгебре. Описаны все ее замкнутые идеалы и замкнутые подпространства рассматриваемого пространства голоморфных функций полиномиального роста, инвариантные относительно оператора интегрирования (Мелихов С.Н., Иванова О.А.). 

Описан коммутант системы операторов интегрирования в пространстве всех функций, голоморфных в полизвездной относительно точки 0 области. Доказан критерий обратимости оператора из коммутанта. Показано, что с многомерным произведением Дюамеля данное пространство является ассоциативной и коммутативной топологической алгеброй, изоморфной коммутанту с умножением - композицией операторов. В случае, когда исходная область дополнительно выпуклая, в двойственной ситуации получен критерий обратимости оператора из коммутанта системы операторов частного обратного сдвига (Мелихов С.Н., Иванов П.А.). 

В пространстве всех голоморфных функций в полицилиндрической области, содержащей точку 0, исследованы операторы свертки, перестановочные в нем с системой операторов частного обратного сдвига. Получено их интегральное представление. В терминах характеристической функции такого оператора свертки установлен критерий его обратимости. Для ненулевой характеристической функции с разделяющимися переменными доказана возможность факторизации ненулевого оператора свертки, в которой один из множителей является изоморфизмом. Получены достаточные условия, при которых соответствующая система элементарных дробей полна в его ядре (Мелихов С.Н., Иванов П.А.). 

Установлен критерий сюръективности операторов свертки на пространствах ультрадифференцируемых функций и ультрараспределений Румье нормального типа. Необходимые и достаточные условия сюръективности состоят из двух частей. Первым условием является медленное убывание символа операторов свертки относительно весовой функции, задающей пространство. Второе условие касается расположения нулей символа на комплексной плоскости. Проведен сравнительный анализ с аналогичными критериями для пространств Румье минимального типа, а также для пространств Берлинга максимального и нормального типов (Полякова Д.А.). 

Синтетические методы алгебры, анализа и математической логики. Изложены основные понятия теории категорий, используемые в булевозначном анализе, и описаны булевы топосы, служащие теоретико-категорным представлением булевозначного универсума (Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С.)

Получено описание полных и элементарных сетей над полем частных дедекиндовой области. Доказана замкнутость указанных элементарных сетей (Койбаев В.А.). 

Введены квантовые суперсферические пары, являющиеся коидеал-подалгебрами квантовых базисных супергрупп. Получена их классификация в терминах, так называемых, обобщенных диаграмм Сатаке для базисных супералгебр Ли, именно специальной линейной и ортосимплектической супералгебр. Исследована их связь с решениями уравнений отражения (Стукопин В.А., Мудров В.А. Аглетами Д.). 

Дана новая конструкция алгебры Микельсона, связанной с (левым) идеалом, порожденном положительными корневыми векторами, либо в квантовой универсальной обертывающей алгебре, либо в полупростой комплексной алгебре Ли. Введены ПБВ базисы специального вида, описываемые на языке диаграмм Хассе. С использованием введенных базисов получены явные формулы для операторов Лакса. Возможны приложения в теории квантовых интегрируемых моделей. Исследована связь данной конструкции алгебры Микельсона с обратной формой (Стукопин В.А., Мудров В.А.).

Аффинный суперянгиан введен как квантование супербиалгебры Ли полиномиальных токов со значениями в аффинной супералгебре Каца-Муди типа A вместе с действием на нем группоида Вейля. Получено представление Дринфельда аффинного суперянгиана. Изучена структура аффинного суперянгиана, как супералгебры Хопфа определено и исследовано действие группоида Вейля в категории суперянгианов аффинной специальной линейной супералгебры Ли (Стукопин В.А., Волков В.Д.). 

Получены асимптотические формулы для собственных чисел и собственных векторов теплицевых матриц большого размера специального вида с вырожденным символом, допускающим обращение в ноль первых трех производных в отмеченной точке. Возможны приложения для быстрого приближенного вычисления компонент собственных векторов теплицевых матриц больших размеров специального вида (Стукопин В.А., Воронин В.А.) 

Дифференциальные и интегральные уравнения. Методом годографа на основе закона сохранения построены решения краевой задачи об поперечной электромагнитной волне и получены как точные, так и асимптотические решения. Развита общая теория решения начально-краевых задач для системы двух квазилинейных уравнений гиперболического типа (Жуков М.Ю.). 

Получены нижние границы для минимального собственного значения дифференциального оператора Штурма–Лиувилля на графе. Установлен аналог тождества Пиконе для уравнения на графе. В качестве применения такого тождества получены теоремы сравнения Штурма и свойства дифференциальных неравенств для оператора второго порядка на графе (Кулаев Р.Ч.). 

Рассмотрена альфвеновская модель двухжидкостной плазмы, движение точечных вихрей в которой описывается гамильтоновой системой уравнений. Исследованы устойчивость стационарного вращения дискретной осесимметрической вихревой структуры, состоящей из центрального вихря произвольной интенсивности Г и N одинаковых вихрей единичной интенсивности, расположенных равномерно на окружности радиуса R при N = 4, 5, 6. Задача устойчивости кроме параметров R и Г имеет параметр c, характеризующий двухжидкостную плазму. Рассмотрены несколько определений устойчивости, среди них орбитальная устойчивость и устойчивость трехпараметрического множества, инвариантного относительно группы преобразований симметрии. Пространство параметров задачи делится на три области: A) орбитальной устойчивости в точной нелинейной постановке; B) неустойчивости и С) линейной устойчивости, где требуется нелинейный анализ. Для нейтральных кривых, разделяющих эти области, получены аналитические формулы (Куракин Л. Г.). 

Задача классификации динамических систем в окрестности косимметричного равновесия разбивается на две части: 1) построение уравнения на центральном многообразии; 2) классификация динамических систем на этом многообразии. Вторая задача была решена ранее в рамках данного проекта. При этом исходное уравнение было преобразовано заменами переменных, масштабированием и обращением времени. В этом году решена первая проблема. Построены полуинвариантные формулы, связывающие коэффициенты исходной и финальной систем. Эти формулы используют нейтральные корневые векторы линеаризованной исходной системы и её сопряженной (Куракин Л.Г., Курдоглян А.В.). 

На положительной временной полуоси рассматривается многоточечная краевая задача, содержащая интегральные слагаемые, для абстрактного параболического уравнения. Старший операторный коэффициент уравнения является линейным, стационарным, и вообще говоря, неограниченным, а нелинейность, в определенном смысле подчинена ему и быстро осциллирует по времени. Точные условия на данные задачи сформулированы в терминах теории полугрупп и дробных степеней позитивного оператора. Для указанной задачи построена усреднённая (по времени) задача и обоснован предельный переход в пространстве непрерывных и ограниченных на полуоси вектор-функций, т.е. обоснован метод усреднения Крылова–Боголюбова (Левенштам В.Б.) 

Выполнено асимптотическое интегрирование квазилинейных систем уравнений с частными производными, представляющих собой математические модели взаимодействия типа хищник-жертва при наличии таксиса хищника по отношению к жертве и к заданному внешнему сигналу, предполагая малыми диффузию жертв и характерные пространственные и временные масштабы сигнала, включая случай многих пространственных переменных. При этом разбор конкретных примеров выявил значительную чувствительность главного приближения асимптотики к форме сигнала. На основе построенной асимптотики изучены возможности стабилизации либо дестабилизации системы под влиянием внешнего сигнала в духе теории перевёрнутого маятника (Моргулис А.Б.) 

Рассматривался дифференциальный оператор четвертого порядка, возмущенный оператором второго порядка, на единичном отрезке с абсолютно непрерывным вещественным коэффициентом. Область определения этого оператора содержит два или три условия, в которых присутствует спектральный параметр. Для указанного оператора установлена асимптотика собственных значений при высоких энергиях. Кроме того, при дополнительном предположении на гладкость коэффициента выписывалась более точная асимптотика собственных значений (Поляков Д.М.). 

Рассматривается система уравнений типа «реакция-диффузия», описывающая модель пространственно-распределенных осцилляторов, когда пространственная переменная меняется в произвольной ограниченной области. Получены условия, при которых устойчивое в бездиффузионном приближении нижнее положение равновесия маятника становится неустойчивым при наличии диффузионных слагаемых. Границы области неустойчивости при этом выражаются через собственные значения оператора Лапласа в рассматриваемой области (Ревина С.В.). 

Получены новые теоремы вложения в весовых пространствах Соболева, доказана точная оценка скорости стабилизации решения в логарифмически выпуклом случае, установлена точная оценка радиуса носителя для случаев логарифмически выпуклых и вогнутых весов (ТедеевА.Ф., Андреуччи Д.).

Получены новые необходимые и достаточные условия на функции, характеризующие взаимодействие диффузии и демпфирования для решения задачи Коши для дважды вырождающихся параболических уравнений с нестепенными нелинейностями, которые гарантируют стремление к нулю тотальную массу решения при неограниченном возрастании времени (ТедеевА.Ф., Тедеев А.Ф.). 

Для решения задачи Коши в случае весовых квазилинейных параболических уравнений с нелинейным источником получены новые критические показатели типа Фуджиты и точные оценки скорости стабилизации. Другими словами, найдены точное соотношение между коэффициентом диффузии и источником, позволяющее однозначно предсказать при каких условиях решение взрывается за конечное время, а при каких решение продолжается на весь промежуток времени (ТедеевА.Ф.). 

Проведено исследование двумерной обратной задачи определения скорости распространения волн и ядра в уравнении вязкоупругости для слабо неоднородной по горизонтали среды. Прямая начально-краевая задача для функции смещения содержит нулевые начальные данные и условие Неймана специального вида. Источником распространения волн является дельта-функция Дирака. Для постановки обратной задачи на границе полупространства задан образ Фурье функции смещения. Предполагается, что скорость распространения волны, ядро и смещение раскладываются в асимптотический ряд. Разработан метод определения неизвестных функций с точностью O(ε2), где ε — малый параметр. Доказаны теоремы о глобальной однозначной разрешимости и устойчивости обратной задачи (Тотиева Ж.Д.). 

Изучена двумерная обратная задача определения ядра, входящего в интегро-дифференциальное уравнение вязкоупругости. Предполагается, что коэффициенты уравнений зависят только от одной пространственной переменной. Доказана теорема однозначной разрешимости и получена оценка устойчивости решения обратной задачи. Приводится теорема о регуляризованном семействе корректно поставленных обратных задач (Тотиева Ж.Д.). 

Разработан метод исследования глобальной разрешимости обратной задачи определения ядра интегрального оператора свертки в волновом интегро-дифференциальном уравнении на отрезке для сред с дисперсией. Прямая задача представляет собой начально-краевую задачу одновременного нахождения потенциала скорости и смещения точек границы среды. В качестве граничных условий используются условия акустического управления. Дополнительной информацией для постановки обратной задачи задается интегральное условие переопределения. Обратная задача сводится к эквивалентной задаче исследования разрешимости замкнутой системы интегро-дифференциальных уравнений вольтеровского типа с нулевыми граничными условиями. С помощью техники оценки интегральных операторов и принципа сжимающих отображений в пространствах Соболева, доказана глобальная теорема существования и единственности решения обратной задачи (Тотиева Ж.Д., Kush Kinra.).

Выпуклый анализ, теория оптимизации и теория приближений. Для управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений определяется множество достижимости допустимых для нее траекторий относительно некоторых отображений. Структура множества достижимости и его границы связана с вопросами локальной управляемости данной системы и вопросами оптимальности в задаче оптимального управления, где эта система представляет собой множество ограничений в данной задаче. Получены необходимые и достаточные условия для граничных точек множества достижимости для важных классов управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрены содержательные примеры, иллюстрирующие полученные результаты (Магарил-Ильяев Г.Г., Аваков Е.Р.)

Рассмотрена система обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными граничными условиями в виде равенств и неравенств. Для этой задачи получены достаточные условия существования решений на некотором семействе отрезков. В частном случае задачи Коши данные условия превращаются в классические условия теорем Пеано и Каратеодори. Приведены примеры, иллюстрирующие основной результат (Магарил-Ильяев Г.Г., Аваков Е.Р.) 

Для однопараметрического семейства линейных операторов рассмотрена задача оптимального восстановления оператора на однородном соболевском классе функций, определенных на d-мерном пространстве, при данном значении параметра по неточной информации об операторе при другом значении параметра. Построен набор оптимальных методов восстановления, параметризованный некоторым множеством измеримых существенно ограниченных функций. В качестве непосредственных следствий доказанного результата получены оптимальные методы восстановления решения уравнения теплопроводности и решения задачи Дирихле для полупространства (Сивкова Е.О.).

На d-мерной решетке вводится понятие дробной степени разностного оператора Лапласа функции, определенной на данной решетке и ставится задача об оптимальном восстановлении этой дробной степени по приближенной информации о самой функции. Найдено точное значение погрешности оптимального восстановления и семейство оптимальных методов восстановления, зависящих от шага решетки и величины, определяющей степень приближения наблюдаемой функции к исходной. Кроме того, получены точные неравенства между нормами функции и ее дробными степенями (Сивкова Е.О.). 

Получены необходимые и достаточные условия равномерной на отрезке [-1,1] сходимости рядов Фурье по ортогональным полиномам Якоби к абсолютно непрерывным функциям. Изучены аппроксимативные свойства рядов Фурье по системе функций, ортогональной в смысле Соболева и ассоциированной с ортогональными полиномами Якоби при неотрицательных показателях (Магомед-Касумов М.Г.). 

Построены квадратурные формулы с фиксированными узлами для сингулярных интегралов определённого вида (Хубежты Ш.С.). 

2.2. Математическое моделирование (п. 1.1.3 ПФНИ 2021-2030гг.) 

Проведена оптимизация ранее разработанного нейросетевого алгоритма для распознавания моногеней из отряда Dactylogyridea (паразитов, приводящих к массовой гибели рыб в аквакультуре) на фотографиях, полученных с окуляра светового микроскопа. Использование элементов современных архитектур нейронных сетей позволило существенно сократить количество тренировочных параметров без потери точности распознавания. Работа оптимизированного алгоритма была проверена на новых биологических данных. Биологический материал, используемый в работе, был получен в результате исследований, проводимых Южным научным центром РАН в 2019-2025 годах в дельте реки Дон, пр. Свиное гирло, и восточной части Таганрогского залива (Казарников А.В., Степанова Ю.В). 

Изучена изменчивость количества фитомассы в горных и предгорных районах центральной части Северного Кавказа. Климатические изменения в Северо-Кавказском регионе приводят к изменению температурного и водного режима, что непосредственно влияет на многолетнюю изменчивость растительной биомассы и урожайность, следовательно, на устойчивое развитие сельского хозяйства, которое является одной из ведущих отраслей экономики. Используется геопространственный отбор многолетних данных индекса вегетации NDVI для локаций исследуемой территории. Для рядов двухнедельных композитов NDVI вычислялась интегральная характеристика и проверялась модель линейной регрессии, позволяющая вычислить статистические параметры уклонов. Использование QGIS и метода интерполяции изолиниями для построения карт распределения этих параметров позволяет выявить границы районов с многолетним уменьшением индексов вегетации при геоэкологическом районировании. Показано, что для территории РСО-Алания и прилегающих предгорных районов индекс вегетации складывается за счет большой фитомассы лесных ландшафтов и имеет положительный тренд, что свидетельствует о сохранении благоприятных климатических условий в них (Радионов А.А., Тимченко В.Ю.).

Изложено теоретическое описание действующих в атмосфере адиабатических эндогенных источников/стоков тепла в атмосфере, основанное на упрощенном аналитическом решении задачи о равновесии неподвижного столба сжимаемой атмосферы. При решении уравнения теплопроводности изменения плотности во времени являются источником или стоком тепла на разных высотах в столбе атмосферы. Во времени эти источники/стоки тепла имеют низкочастотную пульсирующую периодическую зависимость. Рассматривается важность точного учета этих источников/стоков тепла при анализе современных климатических изменений, а также физическая интерпретация некоторых следствий, к которым приводит учет сжимаемости атмосферного воздуха (Радионов А.А.). 

Показано, что анализ спектральной плотности временных рядов при прогнозировании социальных процессов может использоваться при сравнении рядов и, соответственно, для группировки объектов, характеризуемых этими рядами. Если процесс, описываемый временным рядом, не близок к белому шуму, то можно осуществлять краткосрочный прогноз, используя только несколько низкочастотных составляющих спектрального разложения временного ряда. Долгосрочный прогноз социальных процессов с помощью такого подхода невозможен, поскольку “цвет” ряда со временем может меняться (Каменецкий Е.С.). 

2.3. Механика  (п. 2.3.1 ПФНИ 2021-2030гг.) 

Сформулирован принцип виртуальных работ для линеаризованной модели неоднородного тела с учетом остаточных напряжений и деформаций. На основе этой модели проведено исследование задач для неоднородных стержней при наличии остаточных напряжений. Построены постановки краевых задач о колебаниях стержней с учетом материальной неоднородности, остаточных напряжений и деформаций. В рамках одномерной теории проведено сравнение различных моделей остаточных напряжений. Осуществлено сравнение результатов влияния остаточных напряжений на динамические характеристики стержней с экспериментальными данными (Недин Р.Д.).

Предложен подход к моделированию пластин со сложной материальной структурой, преднапряжениями и отверстиями в рамках модели Тимошенко-Миндлина. Исследованы задачи для пластин сложной структуры, проведен анализ чувствительности АЧХ для неоднородных пластин, преднапряженных пластин, пластин с отверстиями. Представлены результаты решения обратной коэффициентной задачи о восстановлении поля остаточных напряжений в пластине (Ватульян А.О., Недин Р.Д.). 

Исследована задача о нахождении оптимальных параметров в задаче об установившихся колебаниях стержня. Проведена серия вычислительных экспериментов по расчету изменения первой частоты собственных колебаний. Так же рассмотрена задача об идентификации свойств вязкоупругой балки в рамках дробно-рациональной модели. Выполнено исследование чувствительности модели на основе анализа производных по Фреше. Реализован итерационный процесс по одновременной идентификации двух функций и двух числовых параметров. Проведена серия вычислительных экспериментов (Ватульян А.О., Юров В.О.). 

Продолжено начатое в прошлом году исследование обратной геометрической задачи о реконструкции расслоений функционально градиентной полосы. Получены асимптотические оценки символа ядра интегрального уравнения относительно функции раскрытия расслоений. Полученная оценка позволяет эффективно решать обратную задачу идентификации положений и размеров дефектов. Получены численные результаты реконструкции дефектов по полям смещений, измеренным на части верхней границы полосы (Явруян О.В.). 

Исследована обратная коэффициентная задача для кубически анизотропной неоднородной упругой полосы по информации о полях смещений, измеренных в режиме позиционного зондирования на части верхней границы полосы в режиме установившихся антиплоских и плоских колебаний. Проведена линеаризация краевой задачи относительно начального состояния и поправок к нему. Получено решение прямой задачи с использованием метода пристрелки, теории вычетов для расчета несобственных интегралов. Решение обратной задачи по восстановлению трех функций, характеризующих изменение механических свойств полосы по толщине, сведено к итерационным процессам, на каждом шаге которых решаются интегральные уравнения Фредгольма 1–го рода с гладкими ядрами при помощи метода регуляризации А. Н. Тихонова. Проведены вычислительные эксперименты по восстановлению трех неизвестных законов изменений, характеризующих неоднородные свойства полосы (Ватульян А.О., Явруян О.В.). 

В рамках модели Ковина-Нунзиато проведено исследование задач о деформировании составных упругих тел с пустыми порами (стержня, балки, цилиндра). На основе вариационного принципа Лагранжа получены уравнения равновесия, граничные условия и условия сопряжения составных пористых тел. Получены точные аналитические решения поставленных задач. Выяснено, что в окрестности контактной зоны происходит локальное изменение функции пористости, причем ширина переходной зоны пропорциональна масштабному параметру; с увеличением параметра связанности происходит увеличение смещений, прогибов и функции пористости; классические напряжения и изгибающие моменты не зависят от значений неклассических параметров; значения неклассических напряжений намного меньше классических, однако, они в области контакта достигают своего пика (Нестеров С.А.). 

В рамках градиентной модели Био проведено исследование задач о деформировании составных упругих тел (стержня, трубы) с наполненными жидкостью порами. В выражениях для плотности полной внутренней энергии жидкости и плотности энергии деформации твердого каркаса учитывались градиенты порового давления и перемещений второго порядка. Построены точные аналитические решения поставленных задач. Выяснено, что с увеличением фильтрационного масштабного параметра наблюдается уменьшение значений порового давления и смещений; более плавное распределение порового давления в области сопряжения; увеличение пикового значения градиентного потока в области сопряжения. При увеличении механического масштабного параметра наблюдается уменьшение смещений и их более плавное изменение в области сопряжения; увеличение пикового значения моментных напряжений в области сопряжения (Нестеров С.А.). 

На основе 6-параметрической нелинейной теории упругих оболочек (модели Коссера) исследована задача о больших деформациях оболочек вращения, содержащих дисклинацию. С применением общей теории дислокаций Вольтерра в многосвязных упругих оболочках введено понятие изолированной дисклинации в оболочке вращения. Вектор Франка этой дисклинации направлен по оси вращения оболочки. При помощи специальной подстановки в общей системе нелинейных уравнений равновесия задача о больших деформациях оболочек вращения с дисклинацией сведена к нелинейной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В рамках мембранной теории оболочек типа Коссера при отсутствии внешних нагрузок найдено точное аналитическое решение задачи о дисклинации в оболочках вращения. В случае общей 6-параметрической модели дано численное решение задачи о дисклинации в замкнутой сферической оболочке, нагруженной внутренним давлением (Карякин М.И.). 

2.4. Информационно-вычислительные системы и среды в науке и образовании (п. 1.1.8 ПФНИ 2021-2030гг.) 

Разработаны компьютерные программы построения моделей новых множеств Жюлиа и дисков Зигеля для полиномов второй степени средствами математического и компьютерного моделирования в ходе выполнения малыми группами обучающихся (студентов и школьников) многоэтапных математико-информационных заданий с эффектом развития креативности обучающихся в «проблемной зоне» математического образования. Выявлены и характеризованы математико-дидактические модели онтологического дизайна оснащения «гипотезы Римана», компьютерного дизайна цилиндра, конуса и сферы Шварца; актуализированы этапы освоения и адаптации обобщенных конструктов математических знаний; определены компоненты технологии исследования сложного знания, разработаны элементы информационной поддержки и содержание вычислительных процедур, компьютерный дизайн и синергетические эффекты исследования в контексте современной науки и школьного математического образования. Актуализирована дидактическая модель развития исследовательской методической компетенции учителя на основе применения научного метода решения проблем в обучении математике (компоненты, характеристики, условия, факторы, критерии сформированности). Актуализирована дидактическая модель формирования научного стиля мышления школьников на основе применения научного метода решения проблем в базовых методиках обучения (компоненты, характеристики, условия, факторы, критерии сформированности. Раскрыты методологические основы планиметрии, ориентировочные основы предметной и метапредметной деятельности, межпредметные и метапредметные связи содержания планиметрии и процесса его освоения. Выявлены условия оказания персонализированной помощи учителю: обоснованность методических рекомендаций учителю математики; диалогичность общения; наличие раздаточного материала в виде тетрадей с печатной основой; разработаны требования к раздаточному материалу учителя для организации эффективного учебного диалога с обучающимся (Абатурова В.С., Дятлов В.Н.,  Малова И.Е.,  Смирнов Е.И.).