Часть 1. Наиболее важные результаты

Установлены необходимые и достаточные условия того, что последовательность экспонент является абсолютно представляющей системой (т.е. аналогом базиса Шаудера без условия единственности разложения) в пространстве функций, голоморфных на ограниченном выпуклом локально замкнутом подмножестве многомерного комплексного пространства, использующие новые геометрические характеристики рассматриваемого выпуклого множества.

Однородное функциональное исчисление в векторных решетках распространено на класс функций, определенных на конических множествах конечномерного пространства, что позволяет переносить двойственность Минковского на абстрактные векторные решетки. В качестве приложения получены новые формулы порядкового исчисления, аналоги классических неравенств для линейных и билинейных операторов, а также теорема типа Радона–Никодима для ортосимметричных билинейных операторов в векторных решетках.

Часть 2. Основные результаты

Математический анализ

Абсолютно представляющие системы. Введены новые геометрические характеристики выпуклых компактов в многомерном комплексном пространстве (гладкость и невырожденность в направлениях). С их помощью установлены необходимые и достаточные условия (в терминах внутрь-продолжаемости) того, что последовательность экспонент является абсолютно представляющей системой в пространстве функций, голоморфных на ограниченном выпуклом локально замкнутом подмножестве многомерного комплексного пространства.

Доказаны критерии существования линейного непрерывного правого обратного оператора к оператору представления рядами из квазимономов функций, голоморфных в ограниченной выпуклой области в комплексной плоскости. Получена формула для правого обратного (в случае его существования).

Разработан метод коэффициентных пространств для исследования абсолютно представляющих систем подпространств (АПСП) в (DFS)-пространствах и на его основе получен критерий того, что заданная система подпространств является АПСП в пространствах такого типа. Полученный критерий изложен в терминах разрешимости интерполяционных задач и в терминах сравнения топологий. Кроме того, построен пример АПСП в пространстве бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в заданной области.

Пространства ультрараспределений и ультраджетов. Установлены критерии вложения и совпадения пространств W-уль­традифференцируемых функций, формулируемые в терминах задающих пространства весовых последовательностей. Охарактеризованы последовательности весов, для которых построенная теория W-ультра­расп­ределений совпадает с известными теориями ультрараспределений Румье–Коматсу, Берлинга–Бьорка, Брауна–Майзе–Тейлора. Разработан новый метод исследования задачи о совпадении классов продолжений и следов ультрадифференцируемых функций, и на его основе получены условия такого совпадения в общей ситуации.

В пространствах ультраджетов, определяемых весовой последовательностью общего вида, получены оценки сверху и снизу норм джетов, порождаемых простыми дробями. Показано, что преобразование Коши функционалов на данных пространствах представляет собой аналитическую в дополнении компакта функцию и установлены оценки роста этой функции вблизи компакта и на бесконечности. На основании этого введено соответствующее пространство аналитических функций. Выявляется взаимосвязь между тем, что данное пространство представляет собой реализацию сильного сопряженного к пространству ультраджетов и наличием в соответствующем пространстве аналога теоремы Уитни о продолжении. Именно, при предположении о справедливости аналога теоремы Уитни установлена инъективность преобразования Коши.

Банаховы и векторные решетки. Однородное функциональное исчисление в векторных решетках распространено на класс функций, определенных на конических множествах конечномерного пространства, что позволяет переносить двойственность Минковского на абстрактные векторные решетки. В качестве приложения получены аналоги классических неравенств (Йенсена, Гёльдера, Минковского) в векторных решетках, а также новые формулы порядкового исчисления для линейных регулярных операторов.

Изучены геометрические свойства конуса Демарра–Красносельского специального вида в произвольном банаховом пространстве, найдены явные формулы расстояния от произвольной точки до упомянутого конуса.

Базисы и структура линейных пространств и операторов. Исследованы вопросы дифференцируемости в смысле борнологий и вопрос о существовании безусловных базисов в пространствах голоморфных функций на пространствах Кёте. Доказано существование безусловных базисов в пространствах голоморфных функций с топологией равномерной сходимости на компактных множествах при дополнительном условии, что голоморфные функции определены на монтелевских пространствах Кёте.

Выделены классы декартовых произведений пространств Кёте, в которых каждое дополняемое подпространство изоморфно подходящему координатному подпространству.

Билинейные операторы. Исследована структура орторегулярных билинейных операторов, в частности, получены новые результаты о представлении и продолжении этого класса операторов, выведены аналоги классических неравенств для ортосимметричных билинейных операторов. Получен также вариант теоремы Радона–Никодима для положительных ортосимметричных билинейных операторов, сохраняющих порядковые отрезки. Получены результаты о мультипликативном представлении билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых каждый сохраняющий дизъюнктность билинейный оператор в пространстве Канторовича является симметричным. Найдены также формулы проектирования мажорируемого билинейного оператора на различные полосы.

Нелинейные мажорируемые операторы. Установлена непрерывность по норме мажорируемого слабого интегрального оператора Урысона, действующего в пространствах со смешанной нормой, найдены достаточные условия компактности, ВМ-ком­пактности и почти компактности мажорируемого оператора Урысона.

Получены формулы проектирования положительного билинейного оператора на полосы, порожденные решеточным биморфизмом, ортосимметричным операторм Магарам, семейством положительных билинейных операторов, а также на полосу порядково непрерывных билинейных операторов.

Введено понятие нелинейного решеточного гомоморфизма и доказан аналог теоремы Мейера для этих операторов, введен класс ортогонально биаддитивных операторов Урысона и для них найдены формулы порядкового исчисления.

Исследованы основные типы нелинейных мажорируемых операторов и их свойств в локально ограниченных пространствах измеримых вектор-функций. Рассмотрены, в частности, свойства и поведение атомических операторов в вышеуказанных пространствах. Исследована разрешимость нелинейных функционально-интегральных уравнений с атомическими операторами, содержащими внутреннюю суперпозицию.

Операторы типа потенциала. Проведены исследования широкого класса операторов типа потенциала, ядра которых осциллируют на бесконечности. Получены L_p-L_q-оценки для этих операторов и даны приложения этих оценок к обращению и описанию образов указанных операторов. Построены комплексные степени с отрицательными вещественными частями для некоторых дифференциальных операторов в L_p-пространствах.

Спектральный анализ. Исследована природа спектра симметрических расширений квазидифферен­ци­ального оператора, действующего в пространстве функций, суммируемых с квадратом модуля. Получена оценка кратности спектра самосопряженных расширений минимального оператора. Исследованы свойства спектральной матрицы-функции квазидифференциального оператора, найдено ее представление в виде интегрального оператора. Построена резольвента интегро-дифференциального оператора в случае предельной точки.

Получены формулы регуляризованных следов для интегро-дифференциальных операторов в абстрактной форме, где интегральное слагаемое определяет ядерный оператор, а дифференциальное – самосопряженный неограниченный оператор с компактной резольвентой. Затем эта формула обобщается на полиномиальные операторные пучки с аналогичной структурой.

На основе линейной модели нормального (стандартного) вязкоупругого тела исследована неклассическая спектральная задача о продольных колебаниях нагруженного прямолинейного стержня постоянного сечения. Детально исследовано характеристическое уравнение, построены асимптотические формулы для собственных частот и декрементов затухания колебаний. Определены границы перехода немонотонных режимов в монотонные (апериодические). Доказан факт трехкратной полноты системы собственных функций, установлена их ортогональность в «нагруженной» метрике.

Получены новые асимптотические по большому параметру формулы для решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, относящихся к случаям, когда коэффициенты принадлежат классам Лебега, Гёльдера и Дини–Липшица. Доказана n-кратная полнота системы корневых функций пучков обыкновенных линейных дифференциальных операторов в случае регулярных граничных условий. Построены примеры нарушения кратной полноты при сохранении обычной полноты корневых элементов. На основе полученных асимптотических представлений установлена теорема базисности корневых функций пучка линейных обыкновенных дифференциальных операторов общего вида. При этом условия указанной базисности сформулированы в предельно простых алгебраических терминах и в терминах «индексов регулярности».

Конечные интегральные преобразования на графе. Изучен вопрос о применении метода интегрального преобразования для решения краевых задач математической физики на графе. Построена общая схема применения указанного метода. Дано обоснование метода для смешанных задач гиперболического и параболического типов.

Выпуклое исчисление. Разработан вариант выпуклого исчисления, т.е. исчисления выпуклых множеств и выпуклых функций, основанного на некотором общем подходе к выпуклой двойственности. На основании полученных соотношений, с единых позиций доказываются многие результаты теории приближений, теории оптимального восстановления линейных функционалов и операторов, результаты о разрешимости систем линейных уравнений и неравенств.

На основании гладко-аппрокси­матив­но-выпук­ого принципа, доказательство которого опирается лишь на обобщенный вариант теоремы о неявной функции и теорему отделимости для выпуклых множеств, получены необходимые условия экстремума для гладких задач с ограничениями типа равенств и неравенств, для задачи Лагранжа классического вариационного исчисления, для выпуклых задач, для ляпуновских задач и для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями.

Теорема о накрывании. Рассмотрены замкнутые накрывающие отображения, действующие из одного полного метрического пространства в другое метрическое пространство. Доказано, что для любого отображения, действующего в тех же метрических пространствах и удовлетворяющего условию Липшица с константой Липшица меньшей, чем константа накрывания, существует точка, в которой значения этих отображений равны. Для многозначных отображений при аналогичных предположениях доказано существование точки совпадения отображений, т.е. точки, в которой образы этих многозначных отображений пересекаются. Указанные результаты обобщают как принцип сжимающих отображений, так и теорему о накрывании.

Необходимые условия экстремума. Для задач математического программирования получены необходимые условия экстремумов первого и второго порядков. Отличительная черта этих условий от известных в том, что они справедливы и содержательны без априорных предположений нормальности. Эти условия формулируются в терминах модифицированной функции Лагранжа–Авакова.

Задачи оптимального восстановления. В задаче об оптимальном восстановлении температуры тела (на примере d-мерного пространства и d-мерной сферы) в данный момент времени по неточно заданным измерениям температуры в некоторые фиксированные моменты времени получен оптимальный метод восстановления и погрешность оптимального восстановления. При построении оптимального метода используется информация не более чем о двух измерениях температуры тела, а сам метод предполагает усреднение и сглаживание наблюденных измерений.

Аппроксимация. Найдены необходимые и достаточные условия на параметры, определяющие функциональные пространства типа Соболева, которые гарантируют равномерную сходимость смешанных рядов по полиномам Лежандра. С помощью этого результата построены полиномиальные и рациональные сплайны, которые могут быть успешно применены в различных вопросах обработки временных рядов и изображений. Разработаны алгоритмы, осуществляющие численную реализацию сконструированных сплайнов.

Установлено, что асимптотическое поведение многочленов, ортогональных на произвольных сетках близко к асимптотическому поведению многочленов Лежандра. Также получена оценка сверху функции Лебега ряда Фурье по этим многочленам.

Вычислительная математика и математическое моделирование

Квадратурные формулы. Построены квадратурные формулы для интегралов типа Коши с весовыми функциями. Даются приложения этих формул для вычисления компонентов напряжений и смещений в задачах плоской теории упругости.

Построена и обоснована новая вычислительная схема высокой точности для численного решения граничных задач математической теории упругости. Рассмотрены сингулярные интегралы с весовыми функциями на отрезке и построены квадратурные формулы интерполяционной точности, которые используются для численного решения одной задачи теории трещин.

Численное моделирование. Проведено полное исследование прямой многомерной задачи упругости для системы дифференциальных уравнений с памятью (вертикально-неоднородная среда). Доказана корректность задачи упругости для системы дифференциальных уравнений с памятью (существование, единственность, устойчивость). Построено фундаментальное решение для задачи упругости с памятью, структура которого учитывает явление памяти среды, и исследованы его свойства.

Математическое моделирование опасных природных процессов. Поставлена и решена начально-краевая задача внутренних гравитационных волн в хвостохранилище, когда волны образуются в результате вторжения в него обвально-оползневого массива либо селелавинообразного потока.

Поставлена и решена начально-краевая задача поверхностных гравитационных волн в узко-глубоком непризматическом водохранилище, когда волны образуются в результате вторжения в него обвально-оползневого массива либо селелавинообразного потока.

Изучена математическая модель напряженно-деформированного состояния пульсирующего ледника при падении на него с большой высоты скально-ледового массива.

Уточнена модель расчета гидротермодинамики атмосферы в горном ущелье. В новой модели вертикальная составляющая скорости ветра рассчитывается из соответствующей проекции уравнения количества движения, а не из уравнения неразрывности.

Проведено сравнение температурного режима поверхности Земли на склонах горы при наличии снежного покрова и без него. Показано, что в обоих случаях при определенных направлениях ветра возникают области повышенной температуры, но их конфигурация и интенсивность различны.

Проведены расчеты стекания лавового потока по склонам вулкана Казбек. Оценена область возможного поражения при эффузивном извержении вулкана. В модели, описывающей процесс заполнения трещины магматическим расплавом, учтена динамика роста пузырьков газа, что позволило уточнить результаты расчетов.

Движение сыпучих сред. Обнаружено движение частиц к более высокой стороне полки при виброожижении слоя части, находящегося на наклонной полке, в случае частоты колебаний 10Гц и малых углах ее наклона.

Разработка математических моделей массопереноса в русловых потоках. Разработан подход к построению математических моделей пассивного переноса вещества в спокойных слабо искривленных русловых потоках малой мутности. Методика, использованная ранее для двумерных моделей, распространена на пространственно трехмерный случай. Предложена классификация редуцированных модельных уравнений. Аналитическими и численными методами изучена модель сверхмелкого протяженного потока.

Модели теории упругости. Для моделирования пьезоэлектрических материалов с начальной пористостью или пустотами предложена новая математическая модель, обобщающая модель электроупругой среды с демпфирующими свойствами и модель Ковина–Нунзиато упругой среды с пустотами. Сформулированы постановки начально-краевых задач для пьезоэлектрических тел с начальной пористостью. Приведены обобщенные постановки континуальных задач в расширенной и редуцированных формах. Для численных решений использованы конечно-элементные аппроксимации обобщенных задач пьезоэлектричества для тел с пустотами и получены разрешающие конечно-элементные системы уравнений в расширенной и редуцированных формах. Изучены математические свойства собственных частот и форм колебаний для пьезоэлектрических тел с пустотами ограниченных размеров при различных типах граничных условий.