Часть 1. Наиболее важные результаты

Получены теоремы типа Пэли–Винера в теории ультрараспределений без тради­цион­ного предположения о кольцевой структуре пространств пробных функций, а также критерии совпадения классов ультрадифференцируемых функций с классами Карлемана бесконечно дифференцируемых функций.

Введены и описаны наиболее общие классы пространств бесконечно дифференцируемых функций, определяемые тем условием, что рост модулей производных контролируется с помощью двух весовых функций.

Часть 2. Основные результаты

Математический анализ

Пространства Канторовича. Используя синтетические методы алгебры и математической логики, получено новое решение проблемы Викстеда–Лозановского для расширенных пространств Канторовича. В частности, получены новые характеризации расширенных пространств Канторовича с сигма-дистрибутивной базой в терминах дифференцирований и нерасширяющих автоморфизмов.

Базисы и структура линейных пространств и операторов. Охарактеризованы расширения классов регулярных элементов в алгебрах операторов и найдены условия, при которых эти расширения совпадают с алгебрами непрерывных операторов в функциональных пространствах. Получен ряд результатов о строении пространств голоморфных функций, определенных на бесконечномерных пространствах. Доказаны различные оценки норм случайных тригонометрических полиномов в связи с исследованием характера сходимости мономиальных разложений в бесконечномерной голоморфности. Исследованы некоторые классы риссовских операторов в локально выпуклых пространствах. В частности, получена характеризация строго сингулярных операторов в пространствах Кёте.

Пространства бесконечно дифференцируемых функций многих переменных и линейные операторы в них. Исследовано распределение множества нулей некоторых классов мероморфных решений уравнения y(z) = y(1 – z), определяемых по специальной формуле, с помощью бесконечно дифференцируемой на [1,+∞) функции. Исследовано распределение нулей функций из некоторого подкласса М четных функций, аналитических в комплексной плоскости, за исключением двух точек ±1/2, являющихся их простыми полю­сами.

Получены необходимые условия существования бесконечного множества нулей в полосе |Re z| ≤ T, Ѕ ≤ T < +∞, у мнимой или действительной части какой-либо функции из M, а также достаточные условия наличия у них не более чем конечного числа нулей в такой полосе.

Установлены критерии совпадения классов Карлемана бесконечно дифференцируемых функций на открытом множестве G в многомерном вещественном пространстве и классов ультрадифференцируемых функций на G, определяемых некоторой весовой функцией. Установлен критерий того, что оператор сужения на нулевое множество специальной целой функции, определенный на счетном индуктивном пределе весовых банаховых пространств целых функций, задаваемых радиальными весами, имеет линейный непрерывный левый обратный.

Краевые задачи. Получено решение неоднородной краевой задачи Гильберта для пары неизвестных функций, которое может быть применено для решения системы двух бисингулярных уравнений, заданных на остовах B_k (k = 1, 2) биобластей D⁺и D ^–.

Пространства ультрадифференцируемых функций и ультрараспределений. Завершена обработка результатов по развитию теории пространств ультрадифференцируемых функций и ультрараспределений, содержащей в себе известные теории Румье, Берлинга–Бьорка, Коматсу, Циоранеску–Жидо, Брауна–Майзе–Тейлора. Подготовлен аналитический обзор известных к настоящему времени теорий ультрараспределений.

Основополагающие для теорий ультрараспределений результаты (структурные теоремы и теоремы типа Пэли–Винера–Шварца) получены без традиционного для данного направления предположения о кольцевой структуре пространств пробных ультрадиф­фе­рен­цируемых функций.

Для общих классов ультрадифференцируемых функций типа Берлинга получен критерий справедливости аналога теоремы Бореля в терминах целых функций. Установлены также необходимые и отдельно достаточные условия в терминах гармонических продолжений весовых функций, определяющих пространство.

Нелинейные мажорируемые операторы и уравнения в пространствах измеримых функций. Проведен краткий обзор результатов о некоторых типах нелинейных операторов, уравнений и систем операторных уравнений в локально ограниченных пространствах измеримых по Лебегу функций. Изучены основные свойства и поведение атомических операторов в локально ограниченных пространствах. Решено нелинейное интегральное уравнение Урысона, содержащее атомический оператор. Построена двумерная шкала модулярных пространств Орлича и проинтерполирован полилинейный оператор в ней. Получена оптимальная оценка параметра регуляризации в шкале локально ограниченных пространств.

Основополагающие для некоторых областей локально ограниченных пространств результаты получены без предположений каратеодориевости ядер операторов, входящих в уравнение. Изученные нелинейные операторы включают основные типы традиционных интегральных операторов Гаммерштейна, Урысона и др. Рассмотрена двупараметрическая интерполяционная шкала пространств Лебега–Рисса.

Билинейные операторы. Установлено, что решеточный биморфизм, действующий из декартова произведения векторных решеток в расширенное пространство Канторовича, представим в виде произведения двух решеточных гомоморфизмов, определенных на решетках-сомножителях. Получены результаты о представлении билинейных порядково ограниченных операторов, сохраняющих дизъюнктность, в виде сильно дизъюнктной суммы билинейных операторов взвешенного сдвига. Доказаны результаты о продолжении ортосим­метрических операторов.

Ортогонально аддитивные мажорируемые операторы. Установлена структура полосы, дизъюнктной полосе латерально непрерывных операторов Урысона. Установлена компактность слабого интегрального оператора Урысона в пространствах со смешанной нормой. Найдены формулы проектирования положительного оператора Урысона на полосу латерально непрерывных операторов и на полосу порожденную одним оператором. Найдены формулы проектирования мажорируемого оператора Урысона на полосу латерально непрерывных операторов.

Конечные интегральные преобразования на графе. Построено конечное интег­ральное преобразование для дифференциального оператора второго порядка с частными производными, заданного на геометрическом графе, порожденного краевыми условиями типа Дирихле. Получена общая схема применения интегрального преобразования к решению задач математической физики.

Сходимость ряда Фурье. Рассматривается множество расходимости М_с ряда Фурье косинусной функции Вейерштрасса–Мандельброта c(t) на [0, 1]. Показано, что ряд Фурье функции c(t) расходится на множестве меры нуль и мощности континуума; точнее, множество М_с есть прямая сумма некоторого счетного подмножества и бинарного множества Кантора.

Субдифференциальное исчисление. Получены новые формулы субдифференцирования для выпуклых операторов относительно двойственности пространств измеримых вектор-функций.Получен вариант теоремы Штрассена о дезинтегрировании в пространстве измеримых сечений.

Задачи оптимального восстановления функций. Изучена задача оптимального восстановления решения волнового уравнения по приближенным значениям коэффициентов Фурье функции, задающей начальную форму струны. Получено решение общей задачи восстановления оператора, определенного на весовом пространстве векторов по приближенным значениям их координат. Рассмотрена задача оптимального восстановления решения обобщенного уравнения теплопроводности в d-мерном шаре по неточным значениям решения в другие моменты времени.

Гладко аппроксимативно выпуклые задачи. На основании упрощенного метода Ньютона доказаны обобщенные версии теорем о неявных функциях, теоремы существования и единственности решений дифференциальных уравнений и их непрерывной и дифференцируемой зависимости от начальных данных и параметров. Исследован вопрос о необходимых условиях экстремума для гладко аппроксимативно выпуклых задач.

Вычислительная математика и математическое моделирование

Квадратурные формулы. Построены квадратурные формулы повышенной точности с применением внешних узлов интерполирования для сингулярных интегралов двух видов: 1) погрешность порядка O(ln n/n⁴); 2) погрешность порядка O(ln n/n⁶). Так как используемые узлы симметричны относительно точки сингулярности, то они являются узлами типа дискретных особенностей.

Численное решение задач теории упругости. Две основные задачи теории упругости сводятся, как известно, к сингулярному интегральному уравнению, которое в свою очередь по методу Шермана–Лауричели разбивается на систему двух сингулярных интегральных уравнений. Для решения этой системы использованы квадратурные формулы с внешними узлами для сингулярных интегралов. Построена вычислительная схема. Полученные решения используются для вычисления компонентов напряжения и смещения по потенциалам Колесова–Мусхелишвили.

Начально-краевые задачи волновых движений воды в бьефах горных водохранилищ. Разработана математическая модель поверхностных гравитационных волн в узко-глубоком непризматическом водоеме. На основе разработанной модели проведен общий математический анализ поведения поверхностных гравитационных волн в узко-глубоком непризматическом водоеме. Получена формула зависимости фазовой скорости волны от параметров характеризующих непризматическое очертание водоема. Поставлены и решены начально-краевые задачи волнового движения воды в узко-глубоком непризматическом водоеме, когда волны образуются вторжением в водоем обвально-оползневого массива, потоков селевого или лавинного характера.

Построена математическая модель одного эффективного способа снижения темпа, заиления водоема.

Численное моделирование прямой многомерной задачи упругости с «памятью» (случай вертикально-неоднородных сред). Проведен сравнительный анализ экспериментальных и расчетных (численных) данных. Численные результаты получены для математической модели с функцией памяти методом последовательных приближений. Экспериментальные данные предварительно подвергались обработке. Анализ показал, что моделирование явления памяти земли в виде свертки двух функций (функции памяти и функции смещения), стоящей в правой части основного уравнения адекватно учитывает нелинейные свойства среды. Функция памяти должна удовлетворять определенным условиям. В соответствии с этими условиями, она представлена в виде затухающей экспоненциальной функции с переменным множителем по вертикальной координате и по времени.

Постановлена начально-краевая задача для трехмерного случая. С помощью некоторых преобразований решение задачи сводится к решению задачи для одномерного случая. Составлен алгоритм расчета системы интегро-дифференциаль­ных уравне­ний упругости с «памятью».

Движение сыпучих сред. Предложен метод обработки результатов рассевов продуктов измельчения материалов в центробежной мельнице, позволяющий оценить влияние различных факторов на процесс измельчения.

Математические модели экологии. Исследовано влияние положения рядов движущихся машин в уличном каньоне на максимальную концентрацию загрязняющих веществ в нем. Показано, что при наличии преимущественного направления ветра целесообразно располагать проезжую часть несколько ближе к наветренной стороне улицы. Показано, что при увеличении числа рядов движущихся машин при одинаковой суммарной интенсивности выбросов загрязняющих веществ, максимальная их концентрация в уличном каньоне может, как расти (если крайний ряд оказывается ближе к подветренной стороне улицы), так и падать, если расстояние от крайнего ряда до этой стороны не зависит от числа рядов.

Математические модели динамики магматических очагов. Получены предварительные результаты расчетов стекания лавы по склону вулкана при экструзивном извержении. Модель позволяет оценить скорость стекания и размеры области поражения в зависимости от расхода лавы, ее свойств, формы рельефа и объемной концентрации кристаллов в вытекающей из жерла вулкана лаве.

Показано, что в процессе заполнения трещины магмой, возможно возникновение колебаний столба магмы, заполняющего трещину, которые могут приводить к значительным пульсациям давления в газовой подушке, находящейся в трещине и дальнейшему растрескиванию земной коры с продвижением магматического расплава к поверхности земли.

Проведены расчеты температурного режима окрестностей вулкана Казбек. Выявлено, что температурная аномалия, обнаруженная на южном склоне вулкана, может быть объяснена метеорологическими факторами, в частности направлением ветра.